Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

592 Capítulo 8: Técnicas de integración
Aplicaciones
41. Determine el área de la región en el primer cuadrante que está
acotada por los ejes coordenados y la curva
42. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar, alrededor
del eje x, la región en el primer cuadrante acotada por los ejes
coordenados, la curva y = 2>s1 + x y la recta x = 1.
2 y = 29 - x
d,
2 >3.
La sustitución z = tan sx>2d
La sustitución
z = tan (1)
reduce el problema de integración de expresión racional en sen x y cos
x a un problema de integración de una función racional de z. Esto a su
vez puede integrarse por medio de fracciones parciales.
De la siguiente figura
x
2
vemos la relación
y
A
Para ver el efecto de la sustitución, calculamos
cos x = 2 cos 2 a x
b - 1 =
2
cos x =
sen x = 2 sen x x sen sx>2d
cos = 2
2 2 cos sx>2d # cos2 a x
2 b
sen x =
=
x
2
1 0
tan x
2 =
2
1 + tan 2 - 1 =
sx>2d
2
1 - z
, 2 1 + z
= 2 tan x
2 # 1
sec 2 sx>2d =
2z
. 2
1 + z
1
x
cos x
sen x
1 + cos x .
P(cos x, sen x)
sen x
2
sec 2 - 1
sx>2d
2
- 1 2
1 + z
2 tan sx>2d
1 + tan 2 sx>2d
(2)
(3)
Por último, x = 2 tan por lo que
-1 z,
Ejemplos
a.
b.
L
L
1
2 + sen x dx = L
= L
= L
dx =
dz
z 2 + z + 1 = dz
L sz + s1>2dd 2 + 3>4
du
u 2 + a 2
2 dz
. 2 1 + z
1
1 + cos x dx = 1 + z2 2 dz
L 2 1 + z 2
= L dz = z + C
= tan a x
b + C
2
1 + z 2
2 + 2z + 2z 2
= 1 a tan-1 a u a b + C
2 dz
1 + z2 = 2
=
1 + 2 tan sx>2d
tan-1 + C
23 23
2 2z + 1
tan-1 + C
23 23
Utilice las sustituciones de las ecuaciones (1) a (4) para evaluar las
integrales de los ejercicios 43 a 50. Integrales como éstas surgen en
el cálculo de la velocidad angular promedio del eje secundario de una
junta universal, cuando los ejes primario y secundario no están alineados.
43.
dx
L 1 - sen x
44.
dx
L 1 + sen x + cos x
45.
p>2
dx
L0
1 + sen x
46.
p>2
dx
Lp>3
1 - cos x
47.
p>2
du
L0
2 + cos u
48.
2p>3
cos u du
Lp>2
sen u cos u + sen u
49.
dt
L
sen t - cos t
50.
cos t dt
L 1 - cos t
Utilice la sustitución z = tan su>2d para evaluar las integrales de los
ejercicios 51 y 52.
51. sec u du
52. csc u du
L L
(4)