Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

596 Capítulo 8: Técnicas de integración
Solución Aplicamos la ecuación (1) con n = 5 para obtener
Después aplicamos de nuevo la ecuación (1), con n = 3, para evaluar la integral que queda:
El resultado combinado es
Como sugiere su forma, las fórmulas de reducción se deducen por medio de integración
por partes.
EJEMPLO 7 Deducción de una fórmula de reducción
Demostrar que, para cualquier entero positivo n,
Solución Utilizamos la fórmula de integración por partes
con
para obtener
A veces pueden utilizarse dos fórmulas de reducción en el mismo problema.
EJEMPLO 8 Determinar
L tan5 x dx = 1
4 tan4 x - L tan 3 x dx.
L tan3 x dx = 1
2 tan2 x - L tan x dx = 1
2 tan2 x + ln ƒ cos x ƒ + C.
L tan5 x dx = 1
4 tan4 x - 1
2 tan2 x - ln ƒ cos x ƒ + C¿ .
L sln xdn dx = xsln xd n - n L sln xd n - 1 dx.
u = sln xd n , du = nsln xd
L u dy = uy - y du
L
n - 1 dx
L sln xdn dx = xsln xd n - n L sln xd n - 1 dx.
L
Solución 1 Aplicamos la ecuación (3) con n = 2 y m = 3 para obtener
sen2 x cos3 x dx.
L sen2 x cos3 x dx =- sen x cos4 x
2 + 3
=- sen x cos4 x
5
Podemos evaluar la integral que queda con la fórmula 61 (otra fórmula de reducción):
L cosnax dx = cosn - 1ax sen ax
na
x , dy = dx, y = x,
+
+ n - 1
1
2 + 3 L sen 0 x cos 3 x dx
+ 1
5 L cos 3 x dx.
n L cos n - 2 ax dx.