Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

208 Capítulo 3: Derivadas
x 3 y 3 9xy 0
4
y
0 2
Normal
Tangente
FIGURA 3.41 El ejemplo 4 muestra
cómo encontrar las ecuaciones para la
tangente y la normal del folium de
Descartes en (2, 4).
x
EJEMPLO 4 Tangente y normal al folium de Descartes
Mostrar que el punto (2, 4) está en la curva x 3 + y 3 – 9xy = 0. Después, encontrar la tangente
y la normal a la curva en ese punto (figura 3.41).
Solución El punto (2, 4) está en la curva, ya que sus coordenadas satisfacen la ecuación
dada para ésta: 2
Para encontrar la pendiente de la curva en (2, 4), primero usamos diferenciación implícita
para encontrar una fórmula para dy>dx:
3 + 43 - 9s2ds4d = 8 + 64 - 72 = 0.
3x 2 dy 2 + 3y
dx
Después evaluamos la derivada en sx, yd = s2, 4d:
dy
dx ` s2, 4d
La tangente en (2, 4) es la recta que pasa por (2, 4) con pendiente 4>5:
Resolver para dy>dx.
La normal a la curva en (2, 4) es la recta perpendicular a la tangente en dicho punto, la recta
que pasa por (2, 4) y tiene pendiente -5>4:
La fórmula cuadrática nos permite resolver una ecuación de segundo grado como
para y en términos de x. Hay una fórmula para las tres raíces de una
ecuación cúbica, que es como la fórmula cuadrática, pero mucho más complicada. Si se
usa esta fórmula para resolver la ecuación x 3 + y 3 y
= 9xy para y en términos de x, las tres
funciones determinadas por la ecuación son
2 - 2xy + 3x2 = 0
y = ƒsxd =
= 3y - x2
3 x3
-
C
x 3 + y 3 - 9xy = 0
d
dx Ax3 B + d
dx Ay3 B - d d
A9xyB =
dx dx A0B
- 9 ax dy
dx
s3y 2 - 9xd dy
dx + 3x2 - 9y = 0
3sy 2 - 3xd dy
dx
y 2 - 3x ` s2, 4d
y = 4 + 4
5
Ax - 2B
y = 4 12
x +
5 5 .
y = 4 - 5
sx - 2d
4
y =- 5 13
x +
4 2 .
x 6
dx
+ y b = 0
dx
= 3s4d - 22
dy
dx
2 + B 4 - 27x3 +
= 9y - 3x2
= 3y - x2
y 2 - 3x .
4 2 - 3s2d
3 x3
-
C
= 8
10
= 4
5 .
x 6
2 - B 4
Diferenciar ambos lados
con respecto a x.
Tratar xy como un
producto y a y como una
función de x.
- 27x3