Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

44 Capítulo 1: Preliminares
–r
Solución
(a) La fórmula se obtiene al sustituir x por -2x en el lado derecho de la ecuación para f
(b) La fórmula es
Elipses
y = ƒs -2xd = s -2xd 4 - 4s -2xd 3 + 10
= 16x 4 + 32x 3 + 10.
y =- 1
ƒsxd =-1
2 2 x4 + 2x3 - 5.
Al sustituir x por cx en la ecuación estándar del círculo con radio r y centro en el origen, se
obtiene
c 2 x 2 + y 2 = r 2 .
Si 0 6 c 6 1, la gráfica de la ecuación (1) estira al círculo horizontalmente; si c 7 1 el
círculo se comprime horizontalmente. En cualquier caso, la gráfica de la ecuación (1) es una
elipse (figura 1.61). Observe, en la figura 1.61, que las intersecciones con el eje y en las
tres gráficas siempre son -r y r. En la figura 1.61b, el segmento de recta que une los puntos
s ;r>c, 0d se conoce como eje mayor de la elipse; el eje menor es el segmento de recta
que une s0, ;rd. En la figura 1.61c, los ejes de la elipse están invertidos: el eje mayor es
el segmento de recta que une los puntos s0, ;rd y el eje menor es el segmento de recta que
une los puntos s ;r>c, 0d. En ambos casos, el eje mayor es el segmento de recta de longitud
mayor.
r
0
–r
y
(a) círculo
x 2 y 2 r 2
r
x
–
r
c
r
0
–r
y
(b) elipse, 0 c 1
c 2 x 2 y 2 r 2
r
c
x
–
r
c
r
0
–r
y
(c) elipse, c 1
FIGURA 1.61 La dilatación horizontal o compresión de un círculo produce gráficas de elipses.
Si dividimos ambos lados de la ecuación (1) entre r obtenemos
2 ,
x 2 2 y
+ = 1.
2 2 a b
c 2 x 2 y 2 r 2
En donde a = r>c y b = r. Si a 7 b, el eje mayor es horizontal; si a 6 b, el eje mayor es
vertical. El centro de la elipse dada por la ecuación (2) es el origen (figura 1.62).
r
c
(1)
x
(2)