Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

172 Capítulo 3: Derivadas
Posición en el tiempo t … y en el tiempo t ∆t
∆s
s f(t) s ∆s f(t ∆t)
FIGURA 3.12 Las posiciones de un cuerpo
que se mueve a lo largo de una recta
coordenada en el tiempo t, y un tiempo un
poco posterior t +¢t.
s
EJEMPLO 1 Cómo cambia el área de un círculo según su diámetro
El área A de un círculo se relaciona con su diámetro mediante la ecuación
¿Qué tan rápido cambia el área con respecto al diámetro cuando éste mide 10 m?
Solución La razón de cambio del área con respecto al diámetro es
Cuando , el área está cambiando a razón de sp>2d10 = 5p m2 D = 10 m
>m.
Movimiento a lo largo de una recta: desplazamiento, velocidad,
rapidez, aceleración y sacudida
Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una recta coordenada (digamos un eje s),
de manera que conocemos su posición s en esa recta como una función del tiempo t:
El desplazamiento del objeto en el intervalo de tiempo que va de t +¢t(figura
3.12) es
y la velocidad promedio del objeto en ese intervalo de tiempo es
yay =
dA
dD
¢s = ƒst +¢td - ƒstd,
desplazamiento
tiempo de recorrido
A = p
4 D 2 .
= p
4 # 2D = pD
2 .
s = ƒstd.
= ¢s
¢t
ƒst +¢td - ƒstd
= .
¢t
Para encontrar la velocidad del cuerpo en el instante exacto t, tomamos el límite de la
velocidad promedio en el intervalo que va de t a t +¢tcuando
¢t tiende a cero. Este límite
es la derivada de f con respecto a t.
DEFINICIÓN Velocidad
La velocidad (velocidad instantánea) es la derivada de la función de posición
con respecto al tiempo. Si la posición de un cuerpo en el tiempo t es s = f(t), entonces
la velocidad del cuerpo en el tiempo t es
ystd = ds
dt
= lím
¢t:0
ƒst +¢td - ƒstd
.
¢t
EJEMPLO 2 Determinar la velocidad de un auto de carreras
La figura 3.13 muestra la gráfica tiempo-distancia de un auto de carreras Riley & Scott
Mk III–Olds WSC modelo 1996. La pendiente de la secante PQ es la velocidad promedio
en el intervalo de 3 segundos que va de t = 2 a t = 5 seg; en este caso, es más o menos de
100 pies> seg, o 68 millasNh.
La pendiente de la tangente en P es la lectura del velocímetro en t = 2 seg, que es
aproximadamente 57 piesNseg o 39 millasNh. La aceleración en el periodo en cuestión
es una constante de casi 28.5 piesNseg 2 durante cada segundo, es decir, más o menos