Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Mínimo absoluto
No hay un valor menor
de f en parte alguna.
También es un mínimo local
Máximo local
No hay un valor
mayor de f cerca
4.1 Valores extremos de una ecuación 247
Máximo absoluto
No hay un valor mayor
de f en parte alguna.
También es un máximo local
y f(x)
Mínimo local
No hay un valor
menor de f cerca
a c e d
FIGURA 4.5 Cómo clasificar máximos y mínimos.
izquierda y baja hacia la derecha alrededor de c, haciendo a f (c) un máximo local. La función
alcanza su máximo absoluto en d.
b
Mínimo local
No hay un valor
menor de f cerca
DEFINICIONES Máximo local, mínimo local
Una función f tiene un valor máximo local en un punto interior c de su dominio si
ƒsxd … ƒscd para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c.
Una función f tiene un valor mínimo local en un punto interior c de su dominio si
ƒsxd Ú ƒscd para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c.
Podemos extender las definiciones de extremos locales a los puntos extremos de los intervalos,
definiendo que f tiene un valor máximo local o mínimo local en el punto extremo c
si la desigualdad apropiada se cumple para toda x en algún intervalo semiabierto en su dominio
que contenga a c. En la figura 4.5 la función f tiene máximos locales en c y d, y mínimos
locales en a, e y b. Los extremos locales también se llaman extremos relativos.
Un máximo absoluto también es un máximo local. Al ser el valor más grande de todos,
también es el valor más grande en una vecindad inmediata. Por lo tanto, una lista de
todos los máximos locales incluirá automáticamente el máximo absoluto, si hay alguno.
De manera similar, una lista de todos los mínimos locales incluirá al mínimo absoluto, si
lo hay.
Determinación de extremos
El teorema siguiente explica por qué usualmente es necesario investigar solamente algunos
valores para encontrar los extremos de una función.
TEOREMA 2 El teorema de la primera derivada para valores
extremos locales
Si f tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interior c de su dominio,
y si ƒ¿ está definida en c, entonces
ƒ¿scd = 0.
x