Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

188 Capítulo 3: Derivadas
EJERCICIOS 3.4
Derivadas
En los ejercicios 1 a 12, encuentre dy>dx.
1. 2. y = 3 y = -10x + 3 cos x
x + 5 sen x
3. 4. y = x
5. y = ssec x + tan xdssec x - tan xd
6. y = ssen x + cos xd sec x
7.
cot x
y =
1 + cot x
8.
cos x
y =
1 + sen x
2 cot x - 1
x 2
y = csc x - 41x + 7
9. 10.
11.
12.
En los ejercicios 13 a 16, encuentre .
13. 14.
15. 16.
En los ejercicios 17 a 20, determine
17. r = 4 - u 18. r = u sen u + cos u
19. r = sec u csc u
20. r = s1 + sec ud sen u
En los ejercicios 21 a 24, encuentre dp>dq.
21.
1
p = 5 +
cot q
22. p = s1 + csc qd cos q
2 s = t
1 + csc t
s =
1 - csc t
sen t
s =
1 - cos t
dr>du.
sen u
2 y = x
ds>dt
s = tan t - t
- sec t + 1
2 y = x
cos x - 2x sen x - 2 cos x
2 y =
4
cos x
cos x
y = x +
x
cos x
sen x + 2x cos x - 2 sen x
+
1
tan x
23.
sen q + cos q
p = cos q
24. p =
tan q
1 + tan q
25. Determine y– si
a. y = csc x.
b. y = sec x.
La diferenciabilidad de las funciones trigonométricas en todo su dominio es otra prueba
de su continuidad en cualquier punto de su dominio (teorema 1, sección 3.1). De esta
manera podemos calcular límites de combinaciones algebraicas y composiciones de funciones
trigonométricas por sustitución directa.
EJEMPLO 7 Determinación de un límite trigonométrico
22 + sec x
lím
x:0 cossp - tan xd
= 22 + sec 0
cossp - tan 0d
= 22 + 1
cossp - 0d
26. Determine si
a. y = -2 sen x.
b.
Rectas tangentes
= 23
-1
= -23
En los ejercicios 27 a 30, grafique las curvas en los intervalos dados,
junto con sus tangentes en los valores de x dados. Señale cada curva y
cada tangente con su ecuación correspondiente.
27.
28.
29.
30.
y s4d = d 4 y>dx 4
y = sen x, -3p>2 … x … 2p
x = -p, 0, 3p>2
y = tan x, -p>2 6 x 6 p>2
x = -p>3, 0, p>3
y = sec x, -p>2 6 x 6 p>2
x = -p>3, p>4
y = 1 + cos x, -3p>2 … x … 2p
x = -p>3, 3p>2
y = 9 cos x.
T
¿Las gráficas de las funciones de los ejercicios 31 a 34 tienen alguna
tangente horizontal en el intervalo 0 … x … 2p? De ser así, ¿en dónde
la tienen? Si su respuesta es negativa, explique por qué. Para comprobar
visualmente sus hallazgos, grafique las funciones con ayuda de
su calculadora graficadora.
31. y = x + sen x
32. y = 2x + sen x
33. y = x - cot x
34. y = x + 2 cos x
35. Encuentre todos los puntos de la curva y = tan x, -p>2 6
x 6 p>2, donde la recta tangente es paralela a la recta y = 2x.
Trace juntas la curva y la tangente (o tangentes), señalando cada
una con su ecuación correspondiente.
36. Encuentre todos los puntos de la curva y = cot x, 0 6 x 6 p,
donde la recta tangente es paralela a la recta y = -x. Trace juntas
la curva y la tangente (o tangentes), señalando cada una con su
ecuación correspondiente.