Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

676 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
TABLA 9.5 Población mundial reciente
Población
Año (millones)
¢P>P
1990 5275 84>5275 L 0.0159
1991 5359 84>5359 L 0.0157
1992 5443 81>5443 L 0.0149
1993 5524 81>5524 L 0.0147
1994 5605 80>5605 L 0.0143
1995 5685 79>5685 L 0.0139
1996 5764 80>5764 L 0.0139
1997 5844 79>5844 L 0.0135
1998 5923 78>5923 L 0.0132
1999 6001 78>6001 L 0.0130
2000 6079 73>6079 L 0.0120
2001 6152 76>6152 L 0.0124
2002 6228 ?
2003 ?
Fuente: Oficina de Censos de los Estados Unidos (septiembre de
2003): www.census.gov> ipc> www> worldpop.html.
conforme la población aumenta debido a factores ambientales, económicos y otros. En
promedio, la tasa de crecimiento disminuyó casi 0.0003 por año entre 1990 y 2002. Esto
es, la gráfica de k en la ecuación (4) es casi una recta con pendiente negativa -r = -0.0003.
En el ejemplo 5 de la sección 9.4 propusimos el modelo de crecimiento logístico más
realista
dP
dt
= rsM - PdP,
donde M es la población máxima, o capacidad de sustentación, que el medio es capaz de
sustentar a la larga. Comparando la ecuación (5) con el modelo exponencial, vemos que
k = rsM - Pd es una función linealmente decreciente de la población, en lugar de ser
constante. Las curvas solución para el modelo logístico de la ecuación (5) se obtuvieron en
la sección 9.4, y se muestran (nuevamente) en la figura 9.24. Observe en las gráficas que
si P 6 M, la población crece hacia M; si P 7 M, la tasa de crecimiento será negativa
(pues r r 7 0, M 7 0)
y la población disminuye.
Población
EJEMPLO 2 Modelado de una población de osos
M
M
2
P
Tiempo
Se sabe que un parque nacional es capaz de sustentar 100 osos pardos, pero no más. Actualmente
diez osos habitan en el parque. Modelamos la población con una ecuación diferencial
logística con r = 0.001 (aunque el modelo podría no dar resultados confiables para
niveles de población pequeños).
(5)
Población
límite
FIGURA 9.24 Curvas solución para el modelo logístico de
población dP>dt = rsM - PdP.
t