Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

342 Capítulo 5: Integración
y
0 a
b
y
y f(x)
(a)
y f(x)
0 a
b
(b)
FIGURA 5.10 La curva de la figura 5.9
con rectángulos de una partición más fina
de [a, b]. Las particiones más finas crean
conjuntos de rectángulos con bases más
delgadas que aproximan la región entre la
gráfica de f y el eje x con mayor exactitud.
EJERCICIOS 5.2
Notación sigma
Escriba las sumas en los ejercicios 1 a 6 sin la notación sigma. Después
evalúelas.
2
3
k - 1
1. a
2. a k
6k
k + 1
k = 1
4
3. 4.
5. 6.
4
a s -1d
k = 1
7. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a 1 + 2 + 4 + 8 +
16 + 32 en notación sigma?
k 3
a s -1d
k = 1
cos kp
k + 1 sen p
a cos kp
k = 1
a sen kp
k = 1
k
6
a. b. a 2 c. a
k
k - 1
a 2
k = 1
5
k = 0
k = 1
5
x
x
La suma SP se conoce como suma de Riemann para ƒ en el intervalo [a, b]. Hay una infinidad
de estas sumas, dependiendo de la partición P que se elija y de la elección de los
puntos ck en los subintervalos.
En el ejemplo 5, donde todos los subintervalos tenían el mismo ancho ¢x = 1>n, pudimos
hacerlos más angostos simplemente aumentando el número n. Cuando una partición
tiene subintervalos cuyo ancho varía, podemos asegurar que todos son angostos controlando
el ancho del subintervalo más ancho (más largo). Definimos la norma de una
partición P, denotada por 7P7 , como el mayor de los anchos de todos los subintervalos. Si
7P7 es un número pequeño, todos los subintervalos de la partición P tienen ancho pequeño.
Veamos un ejemplo.
EJEMPLO 6 Partición de un intervalo cerrado
El conjunto P = {0, 0.2, 0.6, 1, 1.5, 2} es una partición de [0, 2]. Hay cinco subintervalos
de P: [0, 0.2], [0.2, 0.6], [0.6, 1], ]1, 1.5] y ]1.5, 2]:
x 1 x 2 x 3
0 0.2 0.6 1 1.5 2
Las longitudes de los subintervalos son ¢x1 = 0.2, ¢x2 = 0.4, ¢x3 = 0.4, ¢x4 = 0.5, y
¢x5 = 0.5. El subintervalo de mayor longitud es 0.5, de manera que la norma de la partición
es 7P7 = 0.5. En este ejemplo hay dos subintervalos con esa longitud.
Cualquier suma de Riemann asociada a una partición de un intervalo cerrado [a, b]
define rectángulos que aproximan la región entre la gráfica de una función continua f y el
eje x. Las particiones con normas que se aproximan a cero conducen a conjuntos de rectángulos
que aproximan esta región con mayor exactitud, como sugiere la figura 5.10. En
la siguiente sección veremos que si la función f es continua en un intervalo cerrado [a, b],
no importa cómo elijamos la partición P y los puntos c k en sus intervalos para construir
una suma de Riemann, ya que hay un único valor límite al que se aproxima cuando el ancho
del subintervalo , controlado por la norma de la partición , se aproxima a cero.
4
k =-1
k + 1 2
x 4
x 5
8. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa 1 – 2 + 4 – 8 + 16
– 32 en notación sigma?
6
a. b. a s -1d c.
k 2k k - 1
a s -2d
k = 1
9. ¿Cuál fórmula no es equivalente a las otras dos?
a.
4 - 1 s -1dk
a
k = 2 k - 1
b.
2 s -1dk
a
k = 0 k + 1
c.
1
a
10. ¿Cuál fórmula no es equivalente a las otras dos?
4
-1
k
k =-3
2
a. b. a sk + 1d c. a
2
a sk - 1d 2
k = 1
5
k = 0
3
k =-1
3
a
k =-2
k =-1
s -1dk
k + 2
x
s -1dk + 1 k + 2 2