Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

246 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
1
0
y
No tiene el valor más grande
y x
0 x 1
1
Menor valor
FIGURA 4.4 Un solo punto de
discontinuidad puede impedir que una
función tenga un valor máximo o mínimo
en un intervalo cerrado. La función
y = e x, 0 … x 6 1
0, x = 1
es continua en todo punto de [0, 1],
excepto en x = 1, ya que su gráfica
sobre [0, 1] no tiene un punto mayor que
el de los demás.
x
TEOREMA 1 Teorema del valor extremo
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza tanto
un valor máximo absoluto M como un valor mínimo absoluto m en [a, b]. Esto
es, existen números x1 y x2 en [a, b] con ƒsx1d = m, ƒsx2d = M, y m … ƒsxd
… M para cualquier otra x en [a, b] (figura 4.3).
(x 2 , M)
a x 2
M
y f(x)
(x1 , m)
Máximo y mínimo
en puntos interiores
m
a x2 b
Máximo en punto interior
y mínimo en punto extremo
La demostración del teorema del valor extremo requiere un conocimiento detallado
del sistema de los números reales (vea el Apéndice 4), y no la haremos aquí. La figura 4.3
ilustra posibles localizaciones para los extremos absolutos de una función continua en un
intervalo cerrado [a, b]. Como observamos para la función y = cos x, es posible que
un mínimo absoluto (o máximo absoluto) se alcance en dos o más puntos distintos del
intervalo.
Las condiciones del teorema 1, en el sentido de que el intervalo sea cerrado y finito, y
que la función sea continua, son ingredientes fundamentales. Sin ellos la conclusión del
teorema no se cumple necesariamente. El ejemplo 1 muestra que un valor extremo absoluto
podría no existir si el intervalo no es cerrado y finito. La figura 4.4 muestra que el requerimiento
de continuidad no puede obviarse.
Valores extremos locales (relativos)
M
x 1
m
y f(x)
x
b
La figura 4.5 muestra una gráfica con cinco puntos donde una función tiene valores extremos
en su dominio [a, b]. El mínimo absoluto de la función se alcanza en a, aunque en e el
valor de la función es menor que en cualquier otro punto cercano. La curva sube hacia la
x
y f (x)
M
m
a b
Máximo y mínimo
en puntos extremos
m
y f (x)
a x1 Mínimo en punto interior
b
y máximo en punto extremo
FIGURA 4.3 Algunas posibilidades de máximo y mínimo para una función
continua en un intervalo cerrado [a, b].
M
x
x