Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

392 Capítulo 5: Integración
7. El área de la región en el plano xy acotada por el eje x, la curva
y = ƒsxd, ƒsxd Ú 0, y las rectas x = 1 y x = b es
igual a 2b para toda b 7 1. Encuentre ƒ(x).
2 + 1 - 22
8. Demuestre que
(Sugerencia: Exprese la integral del lado derecho como la diferencia
de dos integrales. Después pruebe que ambos lados de la
igualdad tienen la misma derivada con respecto a x).
9. Determinación de una curva Encuentre la ecuación para la
curva en el plano xy que pasa por el punto si su pendiente
en x es siempre 3x
10. Desplazamiento de tierra Usted está utilizando una pala para
sacar tierra de un agujero, con una velocidad inicial de 32 pies-
/seg. La tierra debe subir 17 pies arriba del punto donde la lanza
para poder librar el borde del agujero. ¿Es suficiente la fuerza con
la que la está lanzando para sacarla del agujero, o debe lanzarla
más fuerte?
2 s1, -1d
+ 2.
Funciones continuas a pedazos
A pesar de que estamos interesados principalmente en funciones continuas,
en la práctica muchas funciones son continuas a pedazos. Una
función f (x) es continua a pedazos en un intervalo cerrado I si f tiene
solamente un número finito de discontinuidades en I, los límites
lím
x:c
existen y son finitos en todo punto interior de I, y los límites laterales
apropiados existen y son finitos en los extremos de I. Todas las funciones
continuas a pedazos son integrables. Los puntos de discontinuidad
subdividen a I en subintervalos abiertos o semiabiertos en donde f
es continua, y los criterios de límites anteriores garantizan que f tiene
una extensión continua en la cerradura de cada subintervalo. Para integrar
una función continua a pedazos, integramos las extensiones individuales
y sumamos los resultados. La integral de
- ƒsxd y lím ƒsxd +
x:c
(figura 5.34) en [-1, 3] es
L
3
-1
x
u
a ƒstd dtb du = ƒsudsx - ud du.
L0
L0
L0
1 - x, -1 … x 6 0
ƒsxd = • x2 , 0 … x 6 2
-1, 2 … x … 3
0
= cx - x2
2 d 0
-1
+ c x3
3 d ƒsxd dx = s1 - xd dx + x
L-1
L0
2
0
3
+ c-x d
2
2 dx +
L2
= 3 8 19
+ - 1 =
2 3 6 .
El teorema fundamental del cálculo es válido para funciones con-
x
tinuas a pedazos, con la restricción de que sd>dxd1a ƒstd dt se espera
sea igual a f (x) solamente en los valores de x donde f es continua. Hay
una restricción similar en la regla de Leibniz que aparece más adelante.
Grafique las funciones de los ejercicios 11 a 16, e intégrelas sobre
sus dominios.
x
2
3
s -1d dx
11.
12.
13.
14.
15.
16.
y 1 x
–1
ƒsxd = e x2>3 , -8 … x 6 0
-4, 0 … x … 3
2-x, -4 … x 6 0
ƒsxd = e
x 2 - 4, 0 … x … 3
t, 0 … t 6 1
gstd = e
sen pt, 1 … t … 2
21 - z, 0 … z 6 1
hszd = e
s7z - 6d -1>3 , 1 … z … 2
1, -2 … x 6 -1
ƒsxd = • 1 - x 2 , -1 … x 6 1
2, 1 … x … 2
r, -1 … r 6 0
hsrd = • 1 - r 2 , 0 … r 6 1
1, 1 … r … 2
17. Encuentre el valor promedio de la función dibujada en la figura
siguiente.
18. Encuentre el valor promedio de la función dibujada en la figura
siguiente.
1
y
0
4
3
2
1
y
0 1 2 3
y –1
–1
1
y
0 1 2
y x 2
FIGURA 5.34 Las funciones continuas a
pedazos como ésta se integran pedazo a pedazo.
1 2 3
x
x
x