Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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144 Capítulo 2: Límites y continuidad
Capítulo 2 Ejercicios adicionales y avanzados
1. Asignación de un valor a 0 0 Las reglas de los exponentes (vea
el Apéndice 9) nos indican que a 0 = 1 si a es cualquier número
distinto de cero. También señalan que 0 n = 0 si n es cualquier número
positivo.
Si intentamos ampliar estas reglas para incluir el caso 0 0
obtendríamos resultados conflictivos. La primera regla diría que
0 0 = 1, mientras que la segunda afirmaría que 0 0 = 0.
No se trata de dar una respuesta del tipo verdadero o falso.
Ninguna de las reglas es válida en todos los casos, de manera que
no hay contradicción. Podríarmos, de hecho, definir 0 0 como
cualquier valor que queramos, siempre y cuando convenzamos a
los demás de aceptarlo.
¿Qué valor le gustaría que tuviera 0 0 ? Aquí hay un ejemplo
que le ayudará a decidir. (Vea el ejercicio 2, en donde se da otro
ejemplo).
a. Calcule x x para x = 0.1, 0.01, 0.001 y así sucesivamente hasta
donde alcance su calculadora. Apunte los valores que obtenga.
¿Qué patrón ve?
b. Grafique la función y = x para 0 6 x … 1. A pesar de que
x
la función no está definida para x … 0, la gráfica se aproxima-
rá al eje y por la derecha. ¿Hacia qué valor de y parece dirigirse?
Haga un acercamiento para comprobar su suposición.
2. Una razón para que el valor de 0 0 sea distinto de 0 o 1 Cuando
un número x aumenta en valores positivos, tanto el número 1/x
como el número 1/(1n x) se aproximan a cero. ¿Qué pasa con el
número
ƒsxd = a 1 x b
1>sln xd
conforme x crece? Éstas son dos maneras de averiguarlo.
a. Evalúe f para x = 10, 100, 1000 y así sucesivamente hasta
donde alcance su calculadora. ¿Qué patrón ve?
b. Grafique f en diversas ventanas de graficación, incluyendo algunas
que contengan el origen. ¿Qué ve? Trace los valores de
y a lo largo de la gráfica. ¿Qué encontró?
3. Contracción de Lorentz De acuerdo con la teoría de la relatividad,
desde el punto de vista de un observador la longitud de un
objeto, digamos un cohete, parece variar según la velocidad con
la que viaja el objeto respecto a él. Si el observador mide la longitud
del cohete como L0 en reposo, a una velocidad y la longitud
del objeto parece ser
L = L0 1 -
B y2
. 2 c
Esta ecuación es la fórmula de contracción de Lorentz. Aquí c es
la velocidad de la luz en el vacío, alrededor de 3 * 10
¿Qué pasa con L a medida que y crece? Encuentre límy:c - L.
¿Por qué es necesario el límite lateral izquierdo?
4. Control del flujo de un tanque de drenaje La ley de Torricelli
dice que si se vacía un tanque como el que se muestra en la figura,
la razón y a la que sale el agua es una constante por la raíz cuadrada
de la profundidad x del agua. La constante depende del
tamaño y la forma de la válvula de salida.
8 m>seg.
Razón de salida y pies 3 min
Suponga que para cierto tanque. Usted está intentando
mantener una salida relativamente constante, para lo cual
añade, de vez en cuando, agua al tanque mediante una manguera.
¿Qué profundidad debe tener el agua si quiere mantener una razón
de salida de
a. y0 = 1 pies 3 /min con un error no mayor a 0.2 pies 3 /min?
b. y0 = 1 pies 3 /min con un error no mayor a 0.1 pies 3 y = 2x>2
/min?
5. Expansión térmica en equipos de precisión Como seguramente
sabe, casi todos los metales se dilatan con el calor y se contraen
con el frío. Las dimensiones de una pieza de equipo de laboratorio
son tan importantes, que el taller donde se fabrica tiene que estar
a la misma temperatura que el laboratorio donde se usará el equipo.
Una barra de aluminio típica de 10 cm de ancho a 70ºF tendrá
y = 10 + st - 70d * 10 -4
centímetros de ancho a una temperatura t cercana. Suponga que
estamos usando una barra como ésta en un detector de ondas de
gravedad, y su ancho debe tener, cuando mucho, una diferencia
de 0.0005 cm respecto de los 10 cm ideales. ¿Qué tan cerca de
t 0 = 70ºF debe mantenerse la temperatura para asegurarnos de no
exceder esta tolerancia?
6. Marcas en una taza de medir El interior de una típica taza de
medir con capacidad de 1 litro es un cilindro circular recto de radio
6 cm (vea la siguiente figura). El volumen de agua que ponemos
en la taza es, por lo tanto, una función del nivel h con que se
llena la taza, siendo la fórmula
¿Con cuánta exactitud debemos medir h para que el volumen sea
de 1 L de agua (1000 cm 3 ) con un error no mayor de 1% (10 cm 3 )?
Rayas
alrededor
de 1 mm de
ancho
V = p6 2 h = 36ph.
(a)
x