Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

EJEMPLO 9 Uso de la fórmula
d
dx sec-1 s5x 4 d =
Derivadas de las otras tres
=
=
7.7 Funciones trigonométricas inversas 527
1
ƒ5x4 ƒ 2s5x4d2 - 1 d
dx s5x4d 1
5x 4 225x 8 - 1 s20x3 d
4
x225x8 - 1
5x 4 7 0
Podríamos utilizar las mismas técnicas para determinar las derivadas de las otras tres funciones
trigonométricas inversas, arco coseno, arco cotangente y arco cosecante, pero hay
una forma mucho más sencilla de lograrlo gracias a las identidades siguientes.
Identidades de cofunción inversa – función inversa
csc-1 x = p>2 - sec-1 cot
x
-1 x = p>2 - tan-1 cos
x
-1 x = p>2 - sen-1 x
En la ecuación (4) vimos la primera de estas identidades. Las otras se deducen de manera
análoga. Es fácil deducir que las derivadas de las cofunciones inversas son las negativas
de las derivadas de las correspondientes funciones inversas. Por ejemplo, la derivada
del cos se calcula como sigue:
-1 x
d
dx (cos-1 x) = d
dx ap
2 - sen-1 xb
Identidad
Derivada de arco seno
EJEMPLO 10 Una recta tangente a la curva del arco cotangente
Determinar una ecuación para la recta tangente a la gráfica de y = cot en x = -1.
-1 x
Solución Primero observamos que
cot -1 s -1d = p>2 - tan -1 s -1d = p>2 - s -p>4d = 3p>4.
La pendiente de la recta tangente es
dy
dx ` x =-1
=- d
dx (sen-1 x)
1
=-
21 - x2 =-
1
1 + x 2 ` x =-1
=-
1
=-1 2 1 + s -1d 2 ,
de modo que la recta tangente tiene la ecuación y - 3p>4 = s -1>2dsx + 1d.