Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

666 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
De esta manera, los valores de equilibrio son aquellos en los que no ocurre cambio en
la variable dependiente, por lo que y está en reposo. El hincapié se hace en el valor de y
en donde dy>dx = 0,
no en el valor de x, como estudiamos en el capítulo 4.
EJEMPLO 1 Determinación de valores de equilibrio
Los valores de equilibrio para la ecuación diferencial autónoma
son y = -1y
y = 2.
A fin de construir una solución gráfica para una ecuación diferencial autónoma como
la del ejemplo 1, primero hacemos una línea de fase para la ecuación, una gráfica en el eje
y que muestre los valores de equilibrio junto con los intervalos en donde dy dx y d
son positivos y negativos. Entonces, sabemos en dónde son crecientes y decrecientes
las soluciones, y cuál es la concavidad de las curvas solución. Éstas son las características
esenciales que encontramos en la sección 4.4, de manera que podemos determinar las formas
de las curvas solución sin tener que determinar las fórmulas para ellas.
2y>dx2 >
EJEMPLO 2 Cómo dibujar una línea de fase y bosquejar las curvas solución
Dibujar una línea de fase para la ecuación
y utilizarla para bosquejar las soluciones de la ecuación.
Solución
dy
dx
dy
dx
= s y + 1ds y - 2d
= s y + 1ds y - 2d
1. Dibuje una recta numérica para y y marque los valores de equilibrio y = –1 y y = 2,
en donde dy>dx = 0.
–1 2
2. Identifique y marque los intervalos en donde y¿ 70 y y¿ 60. Este paso se parece al
que hicimos en la sección 4.3, sólo que ahora marcamos el eje y en lugar del eje x.
y' 0 y' 0 y' 0
–1 2
Podemos concentrar la información acerca del signo de y¿ en la misma línea de
fase. Como y¿ 70 en el intervalo a la izquierda de y = -1, una solución de la ecuación
diferencial con valor de y menor que –1 crecerá hacia y = -1. Mostramos esta
información dibujando una flecha en el intervalo que apunta hacia –1.
–1 2
De manera similar, y¿ 60 entre y = –1 y y = 2, de modo que cualquier solución
con un valor en este intervalo disminuirá hacia y = –1.
y
y
y