Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y(t)
y
0
14. Tránsito aéreo comercial Dos aviones comerciales están volando
a 40,000 pies a lo largo de recorridos en línea recta que se
cortan en ángulos rectos. El avión A se aproxima al punto de intersección
a una velocidad de 442 nudos (millas náuticas por hora;
una milla náutica equivale a 2000 yardas). El avión B se aproxima
a la intersección a 481 nudos. ¿A qué tasa está cambiando la distancia
entre los aviones cuando A está a 5 millas náuticas del punto
de intersección y B está a 12 millas náuticas del mismo?
15. Vuelo de un papalote Una niña vuela un papalote que está a
300 pies de altura; el viento aleja el papalote horizontalmente a razón
de 25 pies> seg. ¿Qué tan rápido debe soltar la cuerda la niña
cuando el papalote está a 500 pies de ella?
16. Perforación de un cilindro El mecánico de la Automotriz Lincoln
está volviendo a perforar un cilindro de 6 pulgadas de profundidad
para poner un pistón nuevo. La máquina que están usando incrementa
el radio del cilindro una milésima de pulgada cada 3 minutos.
¿Qué tan rápido aumenta el volumen del cilindro cuando la
perforación (diámetro) mide 3.800 pulgadas?
17. Pila de arena La arena cae a la parte superior de una pila cónica
desde una banda transportadora, a una razón de 10 m La
altura de la pila siempre es tres octavos del diámetro de la base.
¿Qué tan rápido cambian (a) la altura, y (b) el radio cuando la pila
tiene 4 m de altura? Dé su respuesta en centímetros por minuto.
3 >min
18. Vaciado de un depósito cónico Se está extrayendo agua de un
depósito cónico de concreto (el vértice está hacia abajo) de radio
45 m y altura 6 m; el agua sale a razón de 50 m
a. ¿Qué tan rápido (en centímetros por minuto) baja el nivel del
líquido cuando el agua tiene 5 m de profundidad?
3 >min
b. ¿Qué tan rápido cambia el radio de la superficie del agua en
ese momento? Dé su respuesta en centímetros por minuto.
19. Vaciado de un depósito hemisférico De un depósito de forma
hemisférica con radio 13 m, ilustrado aquí de perfil, el agua fluye
a razón de Responda las siguientes preguntas, dado
que el volumen del agua en el depósito hemisférico de radio R es
V = sp>3dy cuando el agua tiene y metros de profundidad.
2 6 m
s3R - yd
3 >min.
Nivel del agua
escalera de 13 pies
y
Centro de la esfera
r
x(t)
13
x
3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 219
a. ¿A qué razón cambia el nivel del líquido cuando el agua tiene
8 m de profundidad?
b. ¿Cuál es el radio r de la superficie del agua cuando ésta tiene
y m de profundidad?
c. ¿A qué razón cambia el radio r cuando el agua tiene 8 m de
profundidad?
20. Gotas de lluvia Suponga que una gota de lluvia es una esfera
perfecta y que, al condensarse, recoge humedad a una razón proporcional
a su área superficial. Demuestre que en estas circunstancias
el radio de la gota crece a una razón constante.
21. El radio de un globo inflado Se utiliza helio para inflar un glo-
bo esférico a razón de 100p pie ¿Qué tan rápido aumenta
3 >min.
el radio del globo en el instante en que el radio mide 5 pies? ¿Qué
tan rápido aumenta el área superficial?
22. Arrastre de un bote Se utiliza una cuerda para arrastrar un bote
hacia el muelle. Un extremo de la cuerda está atada a la proa de la
embarcación, y el otro a un aro ubicado en el muelle, en un punto 6
pies arriba de la proa. La cuerda se jala a una razón de 2 pies> seg.
a. ¿Qué tan rápido se acerca el bote al muelle cuando la cuerda
mide 10 pies?
b. ¿A qué razón cambia el ángulo u en ese momento? (Vea la
figura).
23. Un globo y una bicicleta Un globo se eleva verticalmente desde
una superficie plana, a una razón constante de 1 pie> seg. Justo
cuando el globo está a 65 pies sobre dicha superficie, una bicicleta
que se mueve a una velocidad constante de 17 pies> seg pasa
debajo de él. ¿Qué tan rápido aumenta la distancia s(t) entre la bicicleta
y el globo 3 segundos después?
y(t)
y
0
s(t)
Aro en el borde
del dique
6'
x(t)
x