Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

358 Capítulo 5: Integración
y
área F(x)
y f(t)
0 a x b
FIGURA 5.19 La función F(x), definida
por la ecuación (1), da el área debajo de la
gráfica de f, de a a x, cuando f es no
negativa y x 7 a.
y
f(x)
y f(t)
0 a x x h b
FIGURA 5.20 En la ecuación (1), F(x)
es el área a la izquierda de x. Además,
Fsx + hd es el área a la izquierda de
x + h. Entonces, el cociente de
diferencias [Fsx + hd - Fsxd]>h es
aproximadamente igual a f(x), la altura
del rectángulo que se muestra aquí.
t
t
Teorema fundamental, parte 1
Si f (t) es una función integrable en un intervalo finito I, la integral de cualquier número fijo
a H I a otro número x H I define una nueva función F cuyo valor en x es
Fsxd = ƒstd dt.
La
Por ejemplo, si f es no negativa y x está a la derecha de a, entonces F(x) es el área debajo
de la gráfica de a a x (figura 5.19). La variable x es el límite superior de integración de una
integral, pero F es como cualquier otra función real de variable real. Para cada valor de la
entrada x existe un resultado bien definido numéricamente, en este caso la integral definida
de f, de a a x.
La ecuación (1) da una manera de definir funciones nuevas, pero su importancia por
el momento es la conexión que hace entre integrales y derivadas. Si f es cualquier función
continua, entonces el teorema fundamental del cálculo afirma que F es una función diferenciable
de x cuya derivada es la misma f. En todo valor de x,
d d
Fsxd =
dx dxLa Para entender un poco mejor por qué el resultado es válido, analicémoslo desde el punto
de vista geométrico.
Si ƒ Ú 0 en [a, b], el cálculo de F¿sxd a partir de la definición de la derivada implica
tomar el límite cuando h : 0 del cociente de diferencias
Fsx + hd - Fsxd
.
h
Para h 7 0, el numerador se obtiene restando dos áreas, de manera que es el área debajo
la gráfica de f, de x a x h (figura 5.20). Si h es pequeño, esta área es aproximadamente
igual al área del rectángulo de altura f(x) y ancho h, como se ve en la figura 5.20. Esto es,
Fsx + hd - Fsxd L hƒsxd.
Dividiendo ambos lados de esta aproximación entre h, y haciendo h : 0, es razonable esperar
que
Fsx + hd - Fsxd
F¿sxd = lím
h:0 h
= ƒsxd.
Este resultado es cierto aun si la función f no es positiva, y constituye la primera parte del
teorema fundamental del cálculo.
x
x
ƒstd dt = ƒsxd.
TEOREMA 4 Teorema fundamental del cálculo, parte 1
x
Si f es continua en [a, b], entonces Fsxd = 1a ƒstd dt
es continua en [a, b] y diferenciable
en (a, b), y su derivada es f (x);
x
F¿sxd = d
ƒstd dt = ƒsxd.
dxLa (2)
(1)