Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

622 Capítulo 8: Técnicas de integración
La integral
L1
La función es la frontera entre las integrales convergentes y divergentes con integrandos
de la forma y = 1>x Como muestra el ejemplo siguiente, la integral impropia
converge si p 7 1 y diverge si p … 1.
p y = 1>x
.
EJEMPLO 3 Determinación de la convergencia
¿Para qué valores de p la integral 1 converge? Cuando la integral converge, ¿a
qué valor lo hace?
Solución Si p Z 1,
Así,
ya que
L1
b
L1
q
q
dx
x p =
dx
x p
-p + 1 x
-p + 1 d b
=
1
dx
x p = lím
b: qL1 = lím
b: q c
lím
b: q
Por lo tanto, la integral converge al valor 1>sp - 1d si p 7 1 y diverge si p 6 1.
Si p = 1, la integral también diverge:
L1
= lím
b: qL1 = lím
b: q ln xD b
1
Integrandos con asíntotas verticales
q
b
dx
x p
1
1 - p
1
1 - p sb -p + 1 - 1d =
1 0, p 7 1
= e p - 1 b q, p 6 1.
dx
xp =
L1
q
p dx>x
1
1
, p 7 1
a - 1bd = • p - 1
p - 1 b
q, p 6 1
q
dx
x
= lím
b: q sln b - ln 1d = q .
Otro tipo de integrales impropias surge cuando el integrando tiene una asíntota vertical
—una discontinuidad infinita— en un límite de integración o en algún punto entre los límites
de integración. Si el integrando f es positivo en el intervalo de integración, nuevamente
podemos interpretar la integral impropia como el área debajo de la gráfica de f y
por arriba del eje x, entre los límites de integración.
b
dx
x
1
1 - p
1
a - 1b .
p - 1 b