Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1
0
y
6.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje 401
El eje de rotación en el ejemplo siguiente no es el eje x, pero la regla para calcular el
volumen es la misma: Integrar psradiod entre límites apropiados.
2
EJEMPLO 6 Un sólido de revolución (rotación alrededor de la recta y = 1)
Determinar el volumen del sólido resultante al hacer girar, alrededor de la recta y = 1, la
región acotada por y = 2x y las rectas y = 1, x = 4.
Solución Dibujamos figuras que muestren la región, el radio típico y el sólido resultante
(figura 6.10). El volumen es
R(x) x 1
(a)
y x
y 1
V =
L1
1 x 4
=
L1
4
= p
L1
p[Rsxd] 2 dx
4
pC 2x - 1D 2 dx
4
Cx - 22x + 1D dx
= p c x2
2 - 2 # 2
3 x3>2 4
+ x d =
1
7p
6 .
1
0
y
R(x) x 1
FIGURA 6.10 (a) La región y (b) el sólido de revolución del ejemplo 6.
x
1
(b)
(x, x)
(x, 1)
x
y x
4
x
y 1
Para determinar el volumen de un sólido generado al hacer girar una región entre el
eje y y una curva x = Rs yd, c … y … d,
respecto del eje y, utilizamos el mismo método,
reemplazando x con y. En este caso, la sección transversal circular es
EJEMPLO 7 Rotación alrededor del eje y
As yd = p[radio] 2 = p[Rs yd] 2 .
Determinar el volumen del sólido resultante al hacer girar la región comprendida entre el
eje y y la curva x = 2>y, 1 … y … 4, alrededor del eje y.