Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

M 100
50
0
P
FIGURA 9.25 Un campo de pendientes
para la ecuación diferencial logística
dP>dt = 0.001s100 - PdP (ejemplo 2).
P
100
80
60
40
20
(20, 43.8414)
0 20 40 60 80 100
120 140
FIGURA 9.26 Aproximaciones de Euler
de la solución para dP>dt = 0.001
s100 - PdP, Ps0d = 10, tamaño del paso
dt = 1.
t
t
9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 677
(a) Dibuje y describa un campo de pendientes para la ecuación diferencial.
(b) Utilice el método de Euler con tamaño del paso dt = 1 para estimar el tamaño de la
población en 20 años.
(c) Determine una solución analítica del crecimiento logístico, P(t), para la población, y
dibuje su gráfica.
(d) ¿En qué momento la población de osos llegará a 50 miembros?
Solución
(a) Campo de pendientes. La capacidad de sustentación es 100, por lo que M = 100. La
solución que buscamos es una solución a la ecuación diferencial siguiente.
La figura 9.25 muestra un campo de pendientes para esta ecuación diferencial. Parece
que tiene una asíntota horizontal en P = 100. Por arriba, estas curvas solución descienden
hacia este nivel y por abajo ascienden a él.
(b) Método de Euler. Con tamaño del paso dt = 1, t0 = 0, Ps0d = 10 y
dP
dt
dP
dt
= 0.001s100 - PdP
= ƒst, Pd = 0.001s100 - PdP,
obtenemos la aproximación de la tabla 9.6 por medio de la fórmula de iteración
Pn = Pn - 1 + 0.001s100 - Pn - 1dPn - 1.
TABLA 9.6 Solución de Euler para dP>dt =
0.001s100 - PdP, Ps0d = 10,
tamaño del paso dt = 1
t P(Euler) t P(Euler)
0 10
1 10.9 11 24.3629
2 11.8712 12 26.2056
3 12.9174 13 28.1395
4 14.0423 14 30.1616
5 15.2493 15 32.2680
6 16.5417 16 34.4536
7 17.9222 17 36.7119
8 19.3933 18 39.0353
9 20.9565 19 41.4151
10 22.6130 20 43.8414
Al cabo de 20 años habrá aproximadamente 44 osos pardos. La figura 9.26 muestra
una gráfica de la aproximación de Euler en el intervalo 0 … t … 150 con el tamaño
del paso dt = 1. Esta gráfica se parece a las curvas inferiores que bosquejamos en la
figura 9.24.