Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

250 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Máximo
local
–2
–1
2
1
y
y x 2/3 , –2 ≤ x ≤ 3
Máximo absoluto;
como máximo local
0 1 2 3
Mínimo absoluto;
como mínimo local
FIGURA 4.8 Los valores extremos de
ƒsxd = x en [-2, 3] se alcanzan en
x = 0 y x = 3 (ejemplo 4).
2>3
–1
–1
1
0
–1
1
0
–1
y
(a)
y
(b)
y x 3
1
y x 1/3
FIGURA 4.9 Puntos críticos sin valores
extremos. (a) es 0 en
pero no tiene extremos ahí.
(b) no está definida
en pero y = x
extremos ahí.
no tiene
1>3
y¿ =s1>3dx
x = 0,
-2>3
y = x3 y¿ =3x x = 0,
2
1
x
x
x
De acuerdo con esta lista, podemos ver que el valor máximo absoluto de la función es
2 y se alcanza en el extremo derecho del intervalo x = 3. El valor mínimo absoluto
es 0, y se alcanza en el punto interior x = 0. (Figura 4.8.).
3 9 L 2.08,
Si bien los extremos de la función pueden alcanzarse solamente en los puntos críticos
y en los extremos del intervalo, no todo punto critico o extremo indica la presencia de un
valor extremo. La figura 4.9 ilustra esto para puntos interiores.
Completamos esta sección con un ejemplo que ilustra cómo se utilizan los conceptos
que hemos estudiado para resolver un problema de optimización en el mundo real.
EJEMPLO 5 Bombeo de petróleo desde una plataforma de perforación
a una refinería
Una plataforma de perforación a 12 millas de la costa debe ser conectada mediante un
oleoducto a una refinería que está a 20 millas en línea recta desde el punto de la costa más
cercano a la plataforma. Si instalar la tubería debajo del agua cuesta $500,000 por milla, y
en tierra cuesta $300,000 por milla, ¿qué combinación de instalación subacuática y terrestre
da la conexión más barata?
Solución Intentaremos algunas posibilidades para entender el problema:
(a) La menor cantidad de tubería debajo del agua
La tubería subacuática es más cara, de manera que usamos la menor cantidad posible. La
instalación va en línea recta hasta la orilla (12 millas) y después se usa tubería terrestre
para las 20 millas que restan hasta la refinería:
(b) Toda la tubería debajo del agua (ruta más directa)
Vamos directo a la refinería por debajo del agua.
12
12
Orilla
Orilla
Esto es más barato que el plan (a)
20
Costo = 12s500,000d + 20s300,000d
= 12,000,000
144 + 400
20
Costo = 2544 s500,000d
L 11,661,900
Refinería
Refinería