Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

EJERCICIOS 3.3
Sensibilidad al cambio
Movimiento a lo largo de una recta coordenada
En los ejercicios 1 a 6, se dan las posiciones s = f (t) de un cuerpo que se
mueve en una recta coordenada, tomando s en metros y t en segundos.
a. Encuentre el desplazamiento del cuerpo y la velocidad promedio
para el intervalo de tiempo dado.
3.3 La derivada como razón de cambio 179
Cuando un cambio pequeño en x da lugar a un gran cambio en el valor de una función f(x)
decimos que la función es relativamente sensible al cambio en x. La derivada ƒ¿sxd es una
medida de esa sensibilidad.
EJEMPLO 8 Datos genéticos y sensibilidad al cambio
Al trabajar en su jardín con chícharos y otras plantas, el monje austriaco Gregor Johann
Mendel (1822–1884) dio la primera explicación científica de hibridación.
Sus cuidadosos registros mostraron que si p (un número entre 0 y 1) es la frecuencia
del gen (dominante) de los chícharos que determina que tengan la cáscara lisa, y (1 – p) es
la frecuencia del gen que determina que tengan la cáscara rugosa, entonces la proporción
de chícharos con cáscara lisa en la siguiente generación será de
y = 2ps1 - pd + p 2 = 2p - p 2 .
La gráfica de y contra p que se muestra en la figura 3.20a sugiere que el valor de y es más
sensible a un cambio en p cuando p es pequeña que cuando es grande. Este hecho aparece
en la gráfica de la derivada en la figura 3.20b, que muestra que dy>dp está cerca de 2
cuando p está cerca de 0, y cerca de 0 cuando p está cerca de 1.
1
y
y 2p p 2
0 1
(a)
p
dy/dp
2
dy
dp
0 1
(b)
2 2p
FIGURA 3.20 La gráfica de y = 2p - p describe la
porción de chícharos de cáscara lisa. (b) La gráfica de
dy>dp (ejemplo 8).
2 ,
Desde el punto de vista de la genética, esto implica que, introducir unos cuantos genes
dominantes más en una población altamente recesiva (donde la frecuencia de chícharos
con cáscara rugosa sea pequeña, por ejemplo), tendrá efectos más importantes en generaciones
posteriores que los que tendría un incremento similar en poblaciones altamente dominantes.
b. Determine la rapidez y la aceleración del cuerpo en los extremos
del intervalo.
c. ¿En qué momento durante el intervalo, si es que esto pasa, cambiará
la dirección del cuerpo?
1.
2. s = 6t - t 2 s = t
, 0 … t … 6
2 - 3t + 2, 0 … t … 2
p