Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

478 Capítulo 7: Funciones trascendentes
La derivada de y = ln x
Por la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo (sección 5.4),
d d
ln x =
dx dx L1
1 t dt = 1 x .
Así, para todos los valores positivos de x, tenemos
x
d
dx ln x = 1 x .
Por lo tanto, la función y = ln x es una solución para el problema de valor inicial
dy>dx = 1>x, x 7 0, con y (1) = 0. Observe que la derivada siempre es positiva, de modo
que la función logaritmo natural es una función creciente, de aquí que sea inyectiva e invertible.
Su inversa se estudia en la sección 7.3.
Si u es una función diferenciable de x con valores positivos, de manera que ln u está
definida, al aplicar la regla de la cadena
a la función y = ln u, obtenemos
dy
dx
dy
=
du du
dx
d d
ln u =
dx du ln u # du
dx
= 1
u du
dx .
d 1
ln u =
dx u du
, u 7 0
dx
EJEMPLO 1 Derivadas de logaritmos naturales
(a)
d 1
ln 2x =
dx 2x d 1
s2xd =
dx 2x s2d = 1 x
(b) Con u = x 2 + 3, la ecuación (1) da
d
dx ln sx2 + 3d =
1
x2 #
+ 3
d
dx sx2 + 3d =
1
x2 # 2x =
+ 3
2x
x 2 + 3 .
(1)