Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0
y
P(x 1 , f(x 1 ))
x 1
Secante
Q(x 2 , f(x 2 ))
x h
y f(x)
x 2
y
FIGURA 2.1 Una secante de la
gráfica y = f (x). Su pendiente es
∆y/∆x, la razón de cambio promedio
de f en el intervalo [x 1, x 2].
x
Si fijamos t 0 = 1, y luego desarrollamos el numerador de la ecuación (1) y simplificamos,
encontramos que
¢y
¢t = 16s1 + hd2 - 16s1d 2
h
= 32h + 16h2
h
= 32 + 16h.
Para valores de h distintos de 0, las expresiones de la derecha y la izquierda son equivalentes,
y la velocidad promedio es 32 + 16h pies/seg. Ahora podemos ver por qué la velocidad
promedio tiene el valor límite 32 + 16(0) = 32 pies/seg a medida que h tiende a 0.
De manera similar, al fijar t 0 = 2 en la ecuación (1), el procedimiento da por resultado
¢y
¢t
= 64 + 16h
para valores de h distintos de 0. Conforme h se acerca cada vez más a 0, la velocidad promedio
en t 0 = 2 seg tiene el valor límite de 64 pies/seg.
Razones de cambio promedio y rectas secantes
2.1 Razón de cambio y límites 75
= 16s1 + 2h + h2 d - 16
h
Dada una función arbitraria y = f(x), calculamos la razón de cambio promedio de y respecto
de x en el intervalo [x 1, x 2] dividiendo el cambio en el valor de y, ∆y = f(x 2) – f(x 1), entre
la longitud ∆x = x 2 – x 1 = h del intervalo donde ocurre el cambio.
DEFINICIÓN Razón de cambio promedio en un intervalo
La razón de cambio promedio de y = f (x) respecto de x en el intervalo [x 1, x 2] es
¢y
¢x = ƒsx2d - ƒsx1d
x2 - x1
= ƒsx1 + hd - ƒsx1d
, h Z 0.
h
Geométricamente, la razón de cambio de f en [x 1, x 2] es la pendiente de la recta que pasa
por los puntos P(x 1, f(x 1)) y Q(x 2, f(x 2)) (figura 2.1). En geometría, la recta que une dos
puntos de una curva es una secante de la misma. En consecuencia, la razón de cambio
promedio de f desde x 1 a x 2 es idéntica a la pendiente de la secante PQ.
Muchas veces, los biólogos experimentales quieren saber la razón a la que crecen las
poblaciones bajo condiciones controladas en el laboratorio.
EJEMPLO 3 La razón promedio de crecimiento en una población analizada en laboratorio
En la figura 2.2 se muestra el crecimiento poblacional de la mosca de la fruta (Drosophila)
durante un experimento de 50 días. El número de moscas se contó en intervalos regulares
de tiempo, y los valores se graficaron en relación con el tiempo; los puntos resultantes fueron
unidos mediante una curva suave (de color azul en la figura 2.2). Encontrar la razón
promedio de crecimiento entre los días 23 y 45.
Solución El día 23 había 150 moscas, y 340 el día 45. Por lo tanto, el número de moscas
se incrementó 340 – 150 = 190 en 45 – 23 = 22 días. La razón de cambio promedio de la
población entre los días 23 y 45 fue
Razón de cambio promedio: ¢p
¢t
= 340 - 150
45 - 23
= 190
22
L 8.6 moscas/día.