Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

486 Capítulo 7: Funciones trascendentes
–2
7.3
–1
8
7
6
5
y
La función exponencial
y ln –1 x
o
x ln y
Tras desarrollar la teoría de la función ln x, introduciremos ahora a la función exponencial,
exp x = e x , como la inversa de ln x. Estudiaremos sus propiedades y calcularemos su
derivada e integral. Conociendo su derivada, demostraremos la regla de la potencia para
diferenciar x n cuando n es cualquier número real (racional o irracional).
La inversa de ln x y el número e
Siendo una función creciente de x con dominio (0, q) y rango (–q, q), la función ln x
tiene una inversa: con dominio (– q, q) y rango (0, q). La gráfica de ln es la
gráfica de ln x reflejada con respecto a la recta y = x, Como puede ver en la figura 7.11,
-1 ln x
-1 x
La función y e x
lím
x: q ln-1 x = q y lím
x: - q ln-1 x = 0.
La función también se denota por exp x.
En la sección 7.2 definimos el número e por medio de la ecuación de manera
que e = ln Aunque e no es un número racional, más adelante en esta
sección se explicará una forma de expresarlo como un límite. En el capítulo 10 calcularemos
su valor con una fórmula diferente y la ayuda de una computadora, lo que nos
permitirá lograr tantos decimales de precisión como necesitemos (vea el ejemplo 6 de la
sección 10.9). Con 15 decimales,
e = 2.718281828459045.
-1 ln
ln sed = 1,
s1d = exp s1d.
-1 4
x
e (1, e)
2
1
y ln x
0 1 2 e 4
x
FIGURA 7.11 Las gráficas de y
El número e es
ln-1 y = ln
1 = exp s1d.
-1 y = ln x
x = exp x.
Valores comunes de
e x
e x
x (redondeado)
0.37
0 1
1 2.72
2 7.39
10 22026
100 2.6881 * 10 43
-1
Para elevar el número e a una potencia racional, podemos seguir el procedimiento usual:
e 2 = e # e, e -2 = 1
e 2, e1>2 = 2e,
y así sucesivamente. Como e es positivo, e r también lo es. En consecuencia, e r tiene un logaritmo.
Cuando tomamos el logaritmo, determinamos que
ln e r = r ln e = r # 1 = r.
Como ln x es inyectiva y ln sln esta ecuación nos indica que
-1 rd = r,
e r = ln -1 r = exp r para r racional.
Aún no hemos encontrado un método que nos permita dar un significado obvio a e x para x
irracional. Pero tiene sentido para cualquier x racional o irracional. Así, la ecuación
(1) nos permite ampliar la definición de e x a valores irracionales de x. La función está
definida para toda x, de manera que la utilizaremos para asignar un valor a e x en todo
punto en donde e x ln
no haya sido definida.
-1 ln
x
-1 x
DEFINICIÓN La función exponencial natural
Para todo número real x, e x = ln -1 x = exp x.
Por primera vez hemos dado una definición precisa para un exponente irracional. Comunmente
la función exponencial se denota mediante e x en lugar de exp x. Ya que ln x y e x son
inversas una de la otra, tenemos
(1)