Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

146 pies
122 pies
76 pies
54 pies
40 pies
30 pies
13 pies
Espaciamiento horizontal 20 pies
Se ignora
FIGURA 8.16 Dimensiones del pantano
del ejemplo 9.
EJERCICIOS 8.7
Estimación de integrales
Solución La cuarta derivada de f(x) = x 3 es cero, así que esperamos que la regla de
Simpson proporcione el valor exacto de la integral con cualquier número (par) de pasos.
En efecto, con n = 2 y ¢x = s2 - 0d>2 = 1,
mientras que
L0
EJEMPLO 9 Drenar un pantano
En los ejercicios 1 a 10, las instrucciones para las integrales tienen dos
partes, una para la regla del trapecio y otra para la regla de Simpson.
I. Uso de la regla del trapecio
a. Estime la integral con n = 4 pasos y determine una cota superior
para ƒ ET ƒ .
b. Evalúe la integral directamente y determine ƒ ET ƒ .
c. Utilice la fórmula s ƒ ET ƒ >svalor realdd * 100 para expresar
ƒ ET ƒ como un porcentaje del valor real de la integral.
II. Uso de la regla de Simpson
a. Estime la integral con n = 4 pasos y determine una cota superior
para ƒ ES ƒ .
b. Evalúe la integral directamente y determine ƒ ES ƒ .
S = ¢x
3 s y0 + 4y1 + y2d
= 1
3 ss0d3 + 4s1d3 + s2d3d = 12
3
2
x3 dx = x4
4 d 2
=
0
16
4
8.7 Integración numérica 613
- 0 = 4.
Un pueblo quiere drenar y rellenar un pequeño pantano contaminado (figura 8.16). El
pantano tiene, en promedio, 5 pies de profundidad. ¿Aproximadamente cuántas yardas cúbicas
de tierra se necesitarán para llenar el área después de desecar el pantano?
Solución Para calcular el volumen del pantano, estimamos el área de la superficie y la
multiplicamos por 5. Para estimar el área, utilizamos la regla de Simpson con x = 20 pies
y las y iguales a las distancias medidas a lo largo del pantano, como se muestra en la figura
8.16.
= 4,
= 20
S =
s146 + 488 + 152 + 216 + 80 + 120 + 13d = 8100
3 ¢x
3 s y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + y6d
El volumen es aproximadamente de (8100)(5) = 40,500 pies 3 o 1500 yd 3 .
c. Utilice la fórmula s ƒ ES ƒ >svalor realdd * 100
para expresar
ƒ ES ƒ como un porcentaje del valor real de la integral.
2
1. x dx
2. s2x - 1d dx
L1
L1
1
3. 4. sx
L-2
2 sx - 1d dx
L-1
2 + 1d dx
2
5. 6. st
L-1
3 st + 1d dt
L0
3 + td dt
2
7. 8.
L1
L2
1
ds 2 s
p
9. sen t dt
10. sen pt dt
L0
L0
3
0
1
4
1
1
ds 2 ss - 1d