Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

540 Capítulo 7: Funciones trascendentes
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Sonya Kovalevsky
(1850-1891)
por lo que
ya que la secante hiperbólica es inyectiva en (0, 1].
Derivadas e integrales
cosh -1 a 1 x b = sech-1 x
La mayor utilidad de las funciones hiperbólicas inversas radica en la integración para revertir
las fórmulas de derivadas de la tabla 7.10.
TABLA 7.10 Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas
dssenh -1 ud
dx
dscosh -1 ud
dx
dstanh -1 ud
dx
dscoth -1 ud
dx
dssech -1 ud
dx
dscsch -1 ud
dx
=
=
=
=
=
=
1
21 + u
dx
2 du
1
2u2 - 1 du
, u 7 1
dx
1 du
2 1 - u dx , ƒ u ƒ 6 1
1 du
2 1 - u dx , ƒ u ƒ 7 1
-du>dx
, 0 6 u 6 1
2 u21 - u
-du>dx
, u Z 0
2
ƒ u ƒ21 + u
Las restricciones y en las fórmulas de la derivada de tanh –1 u y
coth –1 u provienen de las restricciones naturales en los valores de estas funciones. (Vea las
figuras 7.33a y b). La distinción entre y se vuelve importante cuando
convertimos las fórmulas de derivadas en fórmulas de integrales. Si la integral
de es tanh –1 u + C. Si , la integral es coth –1 u + C.
En el ejemplo 2 se ilustra cómo se deducen las derivadas de las funciones hiperbólicas
inversas, en donde calculamos dscosh Las otras derivadas se obtienen por medio
de cálculos similares.
-1 1>s1 - u ƒ u ƒ 7 1
ud>dx.
2 ƒ u ƒ 6 1 ƒ u ƒ 7 1
ƒ u ƒ 6 1 ƒ u ƒ 7 1
ƒ u ƒ 6 1,
d
EJEMPLO 2 Derivada del coseno hiperbólico inverso
Demuestre que si u es una función diferenciable de x cuyos valores son mayores que 1, entonces
d
dx scosh-1 ud =
1
2u2 - 1 du
dx .