Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

126. La región que está entre la curva y = sec –1 x y el eje x, desde x = 1
hasta x = 2 (como se ilustra aquí), se hace girar alrededor del eje
y para generar un sólido. ¿Cuál es el volumen del sólido?
3
127. La altura inclinada del cono que aparece aquí mide 3 m. ¿Qué
tan grande debe ser el ángulo señalado para maximizar el volumen
del cono?
128. Determine el ángulo a.
0
y
3
r
21
y sec –1 x
h
1
¿Qué ángulo aquí
da el volumen
máximo?
65°
129. Ésta es una demostración informal de que tan –1 1 + tan –1 2
+ tan –1 3 = p.
Explique por qué.
130. Dos deducciones de la identidad
a. (Geométrica) Esta ilustración prueba que
p - sec Trate de averiguar por qué.
-1 sec
x.
-1 sec
s -xd =
-1 s -xd = P - sec-1 x
50
2
x
7.7 Funciones trigonométricas inversas 533
–x
b. (Algebraica) Deduzca la identidad sec
combinando las dos ecuaciones siguientes, tomadas del texto:
-1 s -xd = p - sec-1 x
Ecuación (3)
Ecuación (5)
131. La identidad La figura 7.21 establece
la identidad para 0 6 x 6 1. Con el propósito de establecerla
para el resto del intervalo [–1, 1], verifique por medio de cálculo
directo que se cumple para x = 1, 0 y –1. Luego, para los valores
de x en (–1, 0), haga x = –a, a 7 0 y aplique las ecuaciones (1) y
(3) a la suma sen –1 (–a) + cos –1 sen
(–a).
-1 x + cos -1 x = p>2
132. Demuestre que la suma tan es constante.
-1 x + tan -1 s1>xd
¿Cuáles de las expresiones de los ejercicios 133 a 136 están definidas
y cuáles no? Justifique sus respuestas.
133. a. b.
134. a. b. csc -1 csc 2
-1 cos
(1>2)
-1 tan 2
-1 2
135. a. b.
136. a. b. cos
137. (Continuación del ejercicio 125). Usted quiere colocar su silla
en algún punto junto a la pared para maximizar su ángulo de visión
a. ¿A qué distancia respecto del frente del salón debe sentarse?
-1 cot s -5d
-1 sen
s- 1>2d
-1 sec 22
-1 0
138. ¿Cuál es el valor de x que maximiza el ángulo u que se muestra
enseguida? ¿Qué tan grande es u en ese punto? Empiece demostrando
que
- cot-1 u = p - cot s2 - xd.
-1 x
1
y
–1
0 x
2
cos -1 s -xd = p - cos -1 x
0
sec -1 x = cos -1 s1>xd
y
y sec –1 x
1 x
139. ¿Pueden ser correctas las integraciones en (a) y (b)? Explique.
a.
b.
140. ¿ Pueden ser correctas las integraciones en (a) y (b)? Explique.
dx
a.
L 21 - x 2 = - L -
dx
21 - x 2 = -cos-1 dx
L 21 - x
x + C
2 = - L -
dx
21 - x2 = -cos-1 dx
L 21 - x
x + C
2 = sen-1 x + C
2
x
x