Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

dr 0.1
a 10
A ≈ dA 2a dr
FIGURA 3.52 Cuando dr es
pequeño en comparación con a,
como sucede cuando dr = 0.1 y
a = 10, la diferencial
dA = 2pa dr
da una manera de
estimar el área del círculo con
radio r = a + dr (ejemplo 6).
EJEMPLO 5 Determinación de diferenciales de funciones
(a)
(b)
dstan 2xd = sec 2 s2xd ds2xd = 2 sec 2 2x dx
x sx + 1d dx - x dsx + 1d
d a b =
x + 1 sx + 1d2 Estimación con diferenciales
Supongamos que conocemos el valor de una función diferenciable f(x) en un punto a, y
que queremos predecir cuánto cambiará este valor si nos movemos a un punto cercano
a + dx. Si dx es pequeño, entonces podemos ver, de acuerdo con la figura 3.51, que ¢y es
aproximadamente igual a dy. Como
la aproximación diferencial nos da
donde dx =¢x. De esta manera, la aproximación ¢y L dy se puede usar para calcular
ƒsa + dxd cuando se conoce f(a) y dx es pequeña.
EJEMPLO 6 Estimación con diferenciales
El radio r de un círculo crece de a = 10 m a 10.1 m (figura 3.52). Usar dA para estimar el
crecimiento del área A del círculo. Estimar el área del círculo agrandado y comparar la estimación
con el área real.
Solución Como A = pr el incremento estimado es
2 ,
Por lo tanto,
El área del círculo de radio 10.1 m es aproximadamente
El área real es
El error en nuestra estimación es 0.01p m que es la diferencia ¢A - dA.
2 ,
Error en la aproximación diferencial
Sea f(x) diferenciable en x = a, y supongamos que dx =¢xes
un incremento de x. Tenemos
dos maneras de describir el cambio de f cuando x cambia de a a a +¢x:
El cambio real:
La diferencial estimada:
¿Qué tan bien aproxima df a ¢ƒ?
ƒsa + dxd = ƒsad +¢y,
ƒsa + dxd L ƒsad + dy
dA = A¿sad dr = 2pa dr = 2ps10ds0.1d = 2p m 2 .
= x dx + dx - x dx
As10 + 0.1d L As10d + 2p
= ps10d 2 + 2p = 102p.
As10.1d = ps10.1d 2
3.8 Linealización y diferenciales 227
sx + 1d 2
= 102.01p m 2 .
102p m 2 .
=
¢ƒ = ƒsa +¢xd - ƒsad
dƒ = ƒ¿sad ¢x.
dx
sx + 1d 2