Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

7.1 Funciones inversas y sus derivadas 467
EJEMPLO 1 Dominio de funciones inyectivas
(a) ƒsxd = 1x es inyectiva en cualquier dominio de números no negativos, porque
1x1 Z 1x2 cuando x1 Z x2.
(b) gsxd = sen x no es inyectiva en el intervalo [0, p], porque sen sp>6d = sen s5p>6d.
Sin embargo, la función seno es inyectiva en [0, p>2], ya que el seno es una función
estrictamente creciente en [0, p>2].
La gráfica de una función inyectiva y = f (x) puede intersecar una recta horizontal dada
a lo más una vez. Si la cruza más de una vez, toma el mismo valor de y en más de una
ocasión y, por lo tanto, no es inyectiva (figura 7.1).
Prueba de la recta horizontal para funciones inyectivas
Una función y = f (x) es inyectiva si y sólo si su gráfica interseca cada recta horizontal
cuando mucho una vez.
Funciones inversas
0
y
y
–1 0 1
y x 3
y x 2
Mismo valor de y
1
x
0
0.5
y
y
y x
Inyectiva: la gráfica corta cada recta
horizontal a lo más en un punto.
Mismo valor de y
x x
6
5
6
y sen x
No es inyectiva: la gráfica corta más de una
vez a una o más rectas horizontales.
FIGURA 7.1 Por medio de la prueba de la recta
horizontal, vemos que y = x 3 y son inyectivas
en sus dominios (– q, q) y [0, q), pero
y = x 2 y = 1x
y y = sen x no son inyectivas en sus dominios
(– q, q).
Como cada valor (salida) de una función uno a uno proviene de una y sólo una entrada, el
efecto de la función puede ser invertido, enviando la salida de regreso a la entrada de la
que vino bajo la función.
x