Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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618 Capítulo 8: Técnicas de integración
48. Desplazamiento de un velero Para determinar el volumen de
agua que desplaza un velero, la práctica común es dividir la línea
de flotación en 10 subintervalos de igual longitud, medir el área de
la sección transversal A(x) de la parte sumergida del casco en cada
punto de la partición, y luego utilizar la regla de Simpson para
estimar la integral de A(x) desde un extremo al otro de la línea de
flotación. La tabla siguiente lista el área de las medidas en las
“Estaciones” 0 a 10, como se denominan los puntos de la partición,
para el balandro del crucero Pipedream, que se muestra en
la figura. La longitud común de los subintervalos (distancia entre
estaciones consecutivas) es ¢x = 2.54 pies (aproximadamente
2 pies 6 1> 2 pulgadas, elegido por conveniencia del constructor).
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a. Estime el volumen de desplazamiento del Pipedream al pie
cúbico más cercano.
Estación Área sumergida (pies 2 )
0 0
1 1.07
2 3.84
3 7.82
4 12.20
5 15.18
6 16.14
7 14.00
8 9.21
9 3.24
10 0
b. Las cifras de la tabla son para agua de mar, que pesa 64 lb
pie 3 . ¿Cuántas libras de agua desplaza el Pipedream? (El
desplazamiento se da en libras para naves pequeñas, y en
toneladas largas (1 tonelada larga = 2240 lb) para grandes
navíos). (Datos tomados de Skene’s Elements of Yacht Design,
por Francis S. Kinney, Dodd, Mead, 1962).
c. Coeficiente prismático El coeficiente prismático de un
bote es la razón del volumen de desplazamiento al volumen
de un prisma cuya altura es igual a la longitud de la línea de
flotación y cuya base es igual al área de la mayor sección
transversal sumergida. Los mejores veleros tienen coeficientes
prismáticos de entre 0.51 y 0.54. Determine el coeficiente
prismático del Pipedream, dado que la longitud de la línea de
flotación es de 25.4 pies y la mayor sección transversal sumergida
es de 16.14 pies 2 >
(en la estación 6).
T 49. Integrales elípticas La longitud de la elipse
x = a cos t, y = b sen t, 0 … t … 2p
resulta ser
Longitud = 4a 21 - e
L0
donde e es la excentricidad de la elipse. La integral en esta fórmula
se denomina integral elíptica y es no elemental, salvo cuando
e = 0 o 1.
2 cos 2 t dt,
a. Utilice la regla del trapecio con n = 10 para estimar la longitud
de la elipse cuando a = 1 y e = 1>2.
y = sen
Si el techo se forja a partir de las hojas planas por medio de un
proceso que no estira el material, ¿cuál debe ser el ancho del material
original? Con el propósito de determinarlo, utilice integración
numérica para aproximar la longitud de la curva seno a dos
decimales.
3p
x, 0 … x … 20 pulgadas.
20
Hoja original
0
20
y sen
3
x (pulgadas)
x
20
52. Una empresa tiene un contrato para construir el túnel que se
muestra a continuación. Éste tiene una longitud de 300 pies de
largo y 50 pies de ancho en la base. Las secciones transversales
tienen la forma de un arco de la curva y = 25 cos spx>50d. Hasta
su terminación, la superficie interna del túnel (excluyendo el camino)
será tratada con un sellador resistente al agua, que tiene un
costo de $1.75 por pie cuadrado. ¿Cuánto cuesta aplicar el sellador?
(Sugerencia: Utilice integración numérica para determinar la
longitud de la curva coseno).
–25
0
y
p
p>2
b. Utilice el hecho de que el valor absoluto de la segunda derivada
de ƒstd = 21 - e es menor que 1, para determinar
una cota superior para el error en la aproximación que
obtuvo en el inciso (a).
50. La longitud de un arco de la curva y = sen x está dado por
2 cos 2 t
T
L = 21 + cos
L0
Estime L por medio de la regla de Simpson con n = 8.
51. La compañía metalúrgica en donde usted trabaja tiene una oferta
para producir hojas de acero corrugado para techo, como el que
se muestra a continuación. Las secciones transversales de las hojas
corrugadas tienen la forma de la curva
2 x dx.
T
T
y 25 cos (x/50)
25
NO ESTÁ A ESCALA
y
300 pies
Hoja corrugada
20 pulgadas
x (pies)