Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

150 Capítulo 3: Derivadas
Notaciones
Hay muchas maneras de denotar la derivada de una función y = f(x), donde la variable independiente
es x y la variable dependiente es y. Algunas de las notaciones alternativas de
uso común para la derivada son
Los símbolos dNdx y D indican la operación de diferenciación, por lo que se les conoce como
operadores de derivada. dyNdx se lee: “la derivada de y con respecto a x”, y dfNdx y
(dNdx)f(x) se leen: “la derivada de f respecto a x”. Las notaciones “prima” y¿ y f ¿ provienen
de las que usaba Newton para las derivadas. Las notaciones dNdx son semejantes a las usadas
por Leibniz. El símbolo dyNdx no debe interpretarse como una razón (hasta que introduzcamos
la idea de “diferenciales” en la sección 3.8).
De igual manera, hay que tener cuidado de no confundir el significado de la notación
D( f ), creyendo que se refiere al dominio de la función f’, cuando en realidad representa la
función derivada f. La diferencia casi siempre resulta evidente gracias al contexto.
Para indicar el valor de una derivada en un número específico x = a, se usa la notación
Como muestra de lo anterior, observe que en el ejemplo 2b pudimos haber escrito
1
=
21x
Para evaluar una expresión, algunas veces se utiliza el corchete derecho (o de clausura, ])
en lugar de la barra vertical ƒ .
` 1 1
= =
x = 4 224 4 .
Gráfica de la derivada
Es posible obtener una gráfica razonable de la derivada de y = f(x) estimando las pendientes
de la gráfica de f. Esto es, se localizan los puntos (x, f'(x)) en el plano xy y se unen mediante
una curva suave, la cual representa y = f'(x).
EJEMPLO 3 Graficación de una derivada
Graficar la derivada de la función y = f(x), como se ilustra en la figura 3.3a.
Solución Trazamos las tangentes a la gráfica de f en intervalos consecutivos, y usamos
sus pendientes para estimar los valores de f ¿(x) en esos puntos. Graficamos los pares
(x, f'(x)) correspondientes, y los unimos con una curva suave, como se esboza en la figura
3.3b.
¿Qué podemos aprender de la gráfica de y = f ¿(x)? A partir de un vistazo o un examen
rápido podemos ver:
1. el lugar en donde la razón de cambio de f es positiva, negativa o cero.
2. el tamaño aproximado de la razón de crecimiento en cualquier x y su tamaño en relación
con el tamaño de f(x).
3. el sitio en donde la razón de cambio es creciente o decreciente
Veamos otro ejemplo.
ƒ¿sxd = y¿ = dy
dx
= dƒ
dx
ƒ¿sad = dy
dx ` x = a
ƒ¿s4d = d
dx 1x ` x = 4
= df
dx ` x = a
EJEMPLO 4 Concentración de azúcar en la sangre
d
= ƒsxd = Dsƒdsxd = Dx ƒsxd.
dx
= d
dx ƒsxd ` .
x = a
El 23 de abril de 1988, el aeroplano Dédalo (o Daedalus), de propulsión humana, rompió
el récord de los vuelos a distancia, al recorrer los 119 km que separan las islas de Creta y