Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Capítulo 3 Preguntas de repaso
1. ¿Qué es la derivada de una función f ? ¿Cómo se relaciona su dominio
con el dominio de f ? Dé ejemplos.
2. ¿Qué papel juega la derivada en las definiciones de pendientes,
tangentes y razones de cambio?
3. ¿Cómo se puede graficar la derivada de una función cuando lo
único que se tiene es una tabla de los valores de la función?
4. ¿Qué significa que una función sea diferenciable en un intervalo
abierto? ¿Qué significa que sea diferenciable en un intervalo cerrado?
5. ¿Cómo se relacionan las derivadas y las derivadas laterales?
6. Describa geométricamente cuándo una función típicamente no
tiene derivada en un punto.
7. ¿Cómo se relacionan la diferenciabilidad de una función en un
punto y su continuidad en dicho punto, si la hay?
8. La siguiente función escalonada unitaria
0, x 6 0
Usxd = e
1, x Ú 0
¿Puede ser la derivada de alguna otra función en
Explique.
9. ¿Qué reglas conoce para calcular derivadas? Dé algunos ejemplos.
10. Explique cómo las tres fórmulas
a.
b.
d
c.
dx
nos permiten diferenciar una función polinomial.
11. Además de las tres fórmulas dadas en la pregunta 10, ¿cuál otra
necesitamos para diferenciar una función racional?
12. ¿Qué es una segunda derivada? ¿Qué es una tercera derivada?
¿Cuántas derivadas tienen las funciones que conoce? Dé ejemplos.
13. ¿Cuál es la relación entre el promedio de una función y las razones
de cambio instantáneas? Dé un ejemplo.
su1 + u2 + Á + und = du1 du2
+
dx dx + Á + dun
d
dx
d du
scud = c
dx dx
dx
sxn [-1, 1]?
n - 1 d = nx
Capítulo 3 Ejercicios de práctica
Derivadas de funciones
Encuentre las derivadas de las funciones de los ejercicios 1 a 40.
1. 2. y = 3 - 0.7x 3 + 0.3x 7
y = x 5 - 0.125x 2 + 0.25x
3. 4. y = x 7 y = x + 27x -
3 - 3sx 2 + p2d 1
p + 1
Capítulo 3 Ejercicios de práctica 235
14. ¿Cómo surgen las derivadas en el estudio del movimiento? ¿Qué
se puede saber acerca del movimiento de un cuerpo a lo largo de
una recta a partir del análisis de las derivadas de la función posición
del cuerpo? Dé ejemplos.
15. ¿Cómo surgen las derivadas en economía?
16. Dé ejemplos de otras aplicaciones de las derivadas.
17. ¿Qué tienen que ver los límites y
con las derivadas de las funciones seno y coseno?
¿Cuáles son las derivadas de estas funciones?
18. ¿Cómo es posible encontrar las derivadas de tan x, cot x, sec x y
csc x una vez que se conocen las derivadas de sen x y cos x?
¿Cuáles son las derivadas de estas funciones?
19. ¿En qué puntos las seis funciones trigonométricas son continuas?
¿Cómo lo sabe?
20. ¿Cuál es la regla para calcular la derivada de la composición de
dos funciones diferenciables? ¿Cómo se evalúa dicha derivada?
Dé ejemplos.
21. ¿Cuál es la fórmula para la pendiente de una curva parametrizada
¿Cuándo se aplica la fórmula?
¿Cuándo es posible esperar poder encontrar también ? Dé
ejemplos.
22. Si u es una función diferenciable de x, ¿cómo se encuentra
sd>dxdsu si n es un entero? ¿Cómo se encuentra si n es un número
racional? Dé ejemplos.
23. ¿Qué es la diferenciación implícita? ¿Cuándo es necesaria? Dé
ejemplos.
24. ¿Cómo surgen los problemas de razones de cambio relacionadas?
Dé ejemplos.
25. Esboce una estrategia para resolver problemas de razones relacionadas.
Ilustre con un ejemplo.
26. ¿Qué es la linealización L(x) de una función f(x) en un punto
x = a? ¿Qué se requiere de f en a para que exista la linealización?
¿Para qué se usan las linealizaciones? Dé ejemplos.
27. Si x se mueve de a a un valor cercano a + dx, ¿cómo se puede estimar
el cambio correspondiente en el valor de una función diferenciable
f(x)? ¿Cómo se puede estimar el cambio relativo? ¿Cómo
se puede estimar el cambio porcentual? Dé un ejemplo.
n d
d
2 y>dx 2
límh:0sssen hd>hd límh:0
sscos h - 1d>hd
dy>dx
x = ƒstd, y = gstd?
5. 6. y = s2x - 5ds4 - xd-1 y = sx + 1d2sx 2 + 2xd
7. y = su 8. y = a-1 - 2 + sec u + 1d 3
9. s =
10. s =
1t
1 + 1t
1
1t - 1
csc u
2
- u2
4 b
2