Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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352 Capítulo 5: Integración 2 1 <strong>–</strong>2 <strong>–</strong>1 1 2 y f(x) 4 x 2 y 2 FIGURA 5.15 El valor promedio de ƒsxd = 24 - x en [-2, 2] es p>2 (ejemplo 5). 2 EJERCICIOS 5.3 Expresión de límites como integrales x El promedio se obtiene dividiendo una suma de Riemann para f en [a, b] entre sb - ad. Conforme incrementamos el tamaño de la muestra y hacemos que la norma de la b partición tienda a cero, el promedio se aproxima a (1>(b - a)) 1a ƒsxd dx. Ambos puntos de vista nos llevan a la siguiente definición. DEFINICIÓN El promedio o valor medio de una función Si f es integrable en [a, b], su valor promedio en [a, b], también llamado valor medio es promsƒd = 1 b - a EJEMPLO 5 Determinación de un valor promedio b ƒsxd dx. La Encontrar el valor promedio de ƒsxd = 24 - x en [-2, 2]. 2 Solución Reconocemos ƒsxd = 24 - x como una función cuya gráfica es el semicírculo superior de radio 2 con centro en el origen (figura 5.15). El área entre el semicírculo y el eje x de -2 a 2 puede calcularse usando la fórmula geométrica 2 Debido a que f es no negativa, el área también es el valor de la integral de f, de -2 a 2, Por lo tanto, el valor promedio de f es Exprese los límites de los ejercicios 1 a 8 como integrales definidas. n a ck ƒƒPƒƒ:0 k = 1 2 ¢xk, 1. lím donde P es una partición de [0, 2]. n 2. lím 2ck donde P es una partición de [-1, 0] 3 ¢xk, a ƒƒPƒƒ:0 k = 1 n 3. lím sck donde P es una partición de [-7, 5] 2 - 3ckd ¢xk, a ƒƒPƒƒ:0 k = 1 n 4. lím a donde P es una partición de [1, 4] 1 ck b ¢xk, a ƒƒPƒƒ:0 k = 1 avsƒd = Área = 1 2 # pr 2 = 1 2 # ps2d 2 = 2p. L 2 -2 1 2 - s -2d 24 - x 2 dx = 2p. L n 2 -2 24 - x2 dx = 1 p s2pd = 4 2 . 1 5. lím ¢xk, donde P es una partición de [2, 3]. 1 - ck a ƒƒPƒƒ:0 k = 1 n 6. lím 24 - ck donde P es una partición de [0, 1]. 2 ¢xk, a ƒƒPƒƒ:0 k = 1 n 7. lím ssec ckd ¢xk, donde P es una partición [-p>4, 0] a ƒƒPƒƒ:0 k = 1 n 8. lím stan ckd ¢xk, donde P es una partición de [0, p>4] a ƒƒPƒƒ:0 k = 1
Uso de las propiedades y los valores conocidos para encontrar otras integrales 9. Suponga que f y g son integrables y que ƒsxd dx = -4, ƒsxd dx = 6, gsxd dx = 8. L1 L1 L1 Use las reglas listadas en la tabla 5.3 para encontrar a. gsxd dx b. gsxd dx L2 L c. 3ƒsxd dx d. ƒsxd dx L1 L e. [ƒsxd - gsxd] dx L1 f. [4ƒsxd - gsxd] dx L1 10. Suponga que f y h son integrables y que ƒsxd dx = -1, ƒsxd dx = 5, hsxd dx = 4. L1 L7 L7 Use las reglas listadas en la tabla 5.3 para encontrar a. -2ƒsxd dx b. [ƒsxd + hsxd] dx L1 L c. [2ƒsxd - 3hsxd] dx d. ƒsxd dx L7 L e. ƒsxd dx L1 f. [hsxd - ƒsxd] dx L9 11. Suponga que ƒsxd dx = 5. Encuentre a. ƒsud du b. 23ƒszd dz L1 L c. ƒstd dt L2 d. [-ƒsxd] dx L1 12. Suponga que gstd dt = 22. Encuentre a. b. c. d. 13. Suponga que f es integrable y que 1 y ƒszd dz = 7. Encuentre 3 0 L-3 0 ƒszd dz = 3 gsrd 22 dr gstd dt gsud du L0 L-3 0 [-gsxd] dx L-3 1 4 0 2 9 a. b. 14. Suponga que h es integrable y que 1 y hsrd dr = 6. Encuentre 1 ƒszd dz ƒstd dt L3 L4 -1 hsrd dr = 0 1 3 -1 2 2 5 9 9 7 2 1 -3 4 3 1 2 1 1 0 -3 5 a. hsrd dr b. - hsud du L1 L3 Uso del área para evaluar las integrales definidas 9 En los ejercicios 15 a 22, grafique los integrandos y use las áreas para evaluar las integrales. 4 3/2 15. a 16. s -2x + 4d dx L-2 L1/2 x + 3b dx 2 5 1 5 5 2 5 9 7 1 9 7 2 1 2 0 3 1 9 3 1 1 21. 22. Use las áreas para evaluar las integrales en los ejercicios 23 a 26. 23. b L0 24. b 4x dx, b 7 0 L0 x A1 + 21 - x L-1 dx, b 7 0 2 2 ƒ ƒ s2 - x d dx L-1 B dx b 25. 2s ds, 0 6 a 6 b 26. 3t dt, 0 6 a 6 b La La Evaluaciones Use los resultados de las ecuaciones (1) y (3) para evaluar las integrales de los ejercicios 27 a 38. 22 27. x dx 28. x dx 29. L1 L0.5 Lp 522 30. 31. x 32. L0 L0 2 r dr dx L22 1/2 33. 34. u 35. L0 La 2 t du L0 2 dt 23a 36. 37. 38. x L0 Use las reglas de la tabla 5.3 y las ecuaciones (1)-(3) para evaluar las integrales de los ejercicios 39 a 50. 2 x dx L0 2 x dx dx La 1 39. 7 dx 40. L3 L0 2 41. 5x dx 42. L0 L3 2 43. s2t - 3d dt 44. L0 L0 1 45. a1 + 46. s2z - 3d dz L2 L3 z b dz 2 2 47. 48. 24u L1/2 2 3u du L1 2 du 2 49. 50. s3x L1 2 s3x + x - 5d dx L0 2 + x - 5d dx 2 3 7 p/2 2 3 b Determinación del área En los ejercicios 51 a 54, use una integral definida para encontrar el área de la región entre la curva dada y el eje x en el intervalo [0, b]. 22 51. 52. 53. 54. y = x y = px y = 2x + 1 2 2 y = 3x2 2.5 5.3 La integral definida 353 17. 18. 216 - x L-4 2 29 - x dx L-3 2 dx 19. ƒ x ƒ dx 20. s1 - ƒ x ƒ d dx L-2 L-1 0 1 1 b -2 5 0 1 0 22 dx x 8 dx 2p 0.3 2a 3b At - 22B dt u du s 2 ds x dx
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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Incrementos y movimiento 37. Una pa
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96. La distancia entre un punto y u
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TABLA 1.2 Datos del diapasón Tiemp
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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1.5 Combinación de funciones; tras
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EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, produ
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En los ejercicios 19-28 se establec
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Biomasa 250 200 150 100 50 y 0 1 2
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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2.1 Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUI
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Desde el punto de vista geométrico
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Es fácil convencernos de que las p
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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Creación de gráficas a partir de
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0 y y 1 x FIGURA 2.56 La función
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0.4 0.3 0.2 0.1 2p p p 0 y 2p FIGUR
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3 2 1 0 y 1 2 3 4 FIGURA 2.61 La fu
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O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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Razones de cambio: derivada en un p
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No habiendo tangente vertical en x
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3.1 ENSAYO HISTÓRICO La derivada C
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Muchas veces es necesario conocer l
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EXPLORACIONES CON COMPUTADORA Use u
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3.3 La derivada como razón de camb
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La única falla en este razonamient
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sen n x significa ssen xd n , n Z -
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Encontrar d en términos de t 1. Ex
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Identifique la trayectoria de la pa
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Obser vador Globo d 0.14 rad/min d
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Una aproximación lineal importante
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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66. a. Grafique la función b. ¿ f
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c. ¿Cómo se relaciona dS>dt con d
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. Encuentre los valores para b y c
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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-2 -1 (-2, -32) 7 -32 y (1, 7) y 8
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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Extremos absolutos en intervalos ce
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y y x2 C C 2 2 1 0 -1 -2 C 1 C
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Función decreciente y y x 2 Funci
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4.4 Concavidad y trazado de curvas
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y c(x) x 3 6x 2 15x r(x) 9x 0 2
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Precaución Para aplicar la regla d
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Page 419 and 420: 1 0 y 6.1 Cálculo de volúmenes po
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R(x) -x 3 R(x) -x 3 (-2, 5) r(x
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EJERCICIOS 6.1 Áreas de secciones
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15. Alrededor del eje y. 16. Alrede
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58. Tanque auxiliar de gasolina Con
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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12. y = 3> A22xB, y = 0, x = 1, x =
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0 y A P 0 P 1 P k-1 C B P n FIGUR
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-1 1 0 -1 y x cos 3 t y sen 3 t 0
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1 0 y ⎛x y ⎝2 2/3 , 0 x 2
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T EJERCICIOS 6.3 Longitudes de curv
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(a) 6.4 Momentos y centro de masa 4
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Densidad La densidad de la materia
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0 y x y c.m. x x Línea de equilib
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Cómo determinar el centro de masa
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y a 2 x 2 -a 0 a y (a) a c.m. -a
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punto que está a un tercio de la d
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0 y y f(x) a P Q x k1 x k FIGURA 6
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0 y A (0, 1) x y 1 B (1, 0) FIGUR
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1 8 0 - 1 8 y y x 3 NO ESTÁ A ESC
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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Fuerza (lb) F 0 Sin comprimir 4 F x
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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28. Golf Una pelota de golf de 1.6
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y a y Superficie del fluido Placa v
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EJERCICIOS 6.7 En los ejercicios si
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a. Determine la fuerza del fluido c
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27. Determine el centroide de una p
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0 12. En los puntos de la circunfer
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
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5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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EJERCICIOS 8.5 Sustituciones trigon
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8.6 8.6 Tablas de integrales y sist
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Solución Utilizamos la fórmula 99
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Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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También se puede hallar la integra
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Sustitución y tablas de integrales
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111. a. Utilice un software matemá
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y y x 2 1 0 1 25 16 5 4 36 16 6 4
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2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Thomas Simpso
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gular no podemos determinar el valo
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146 pies 122 pies 76 pies 54 pies 4
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28. Abastecimiento de un estanque d
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Utilice las funciones Trace o Zoom
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Área de una superficie Determine,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Lejeune Diric
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1 0 y a y 1 x Área 2 2a 1 FIGUR
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Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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1 y y e -x2 (1, e -1 ) 0 1 b y e
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1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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EJERCICIOS 8.8 Evaluación de integ
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T a. Dibuje la gráfica de f. Deter
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43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u d
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Integrales impropias Evalúe las in
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T 24. Determinación de un volumen
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
Page 723 and 724:
121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
Page 725 and 726:
La función ƒsxd = x tiene un punt
Page 727 and 728:
17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
Page 733 and 734:
7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
Page 735 and 736:
Ejercicios prácticos, páginas 388
Page 737 and 738:
Ejercicios de práctica, páginas 4
Page 739 and 740:
13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
Page 741 and 742:
Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
Page 743 and 744:
Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
Page 745 and 746:
71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
Page 747 and 748:
3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
Page 749:
Ejercicios prácticos, páginas 682
Page 752 and 753:
I-2 Índice Calculadoras, graficaci
Page 754 and 755:
I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
Page 756 and 757:
I-6 Índice implícitamente, 205-20
Page 758 and 759:
I-8 Índice Leyes de los exponentes
Page 760 and 761:
I-10 Índice Problema de primer ord
Page 762 and 763:
I-12 Índice en integrales múltipl
Page 765:
Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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