Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

354 Capítulo 5: Integración
Valor promedio
En los ejercicios 55 a 62, grafique la función y encuentre su valor promedio
en el intervalo dado.
55. ƒsxd = x 2 - 1 en C0, 23D
ƒ ƒ
ƒ ƒ
56. en [0, 3] 57. en [0, 1]
58. en [0, 1]
59. en [0, 3]
60. ƒstd = t en [-2, 1]
61. gsxd = x - 1 en a. [-1, 1], b. [1, 3], y c. [-1, 3]
62. hsxd = - x en a. [-1, 0], b. [0, 1], y c. [-1, 1]
2 ƒstd = st - 1d
- t
2
ƒsxd = 3x 2 ƒsxd = -3x
- 3
2 ƒsxd =- - 1
x2
2
Teoría y ejemplos
63. ¿Qué valores de a y b maximizan el valor de
sx - x
La
(Sugerencia: ¿En dónde es positivo el integrando?)
64. ¿Qué valores de a y b minimizan el valor de
2 d dx?
sx
La
65. Use la desigualdad máx-mín para encontrar las cotas superior e
inferior del valor de
4 - 2x2d dx?
1
dx. 2
L0
1 + x
66. (Continuación del ejercicio 65). Use la desigualdad máx-mín para
encontrar las cotas superior e inferior de
L0
0.5
b
b
1
1 + x2 dx y L
Sume las cotas para llegar a una mejor estimación de
L0
1
1
67. Demuestre que el valor de 0 no puede ser 2.
sensx2d dx
1 0
1
1 1
1
dx. 2 1 + x
68. Pruebe que el valor de 2x + 8 dx está entre 222 L 2.8 y 3.
69. Integrales de funciones no negativas Use la desigualdad máxmín
para probar que si f es integrable,
ƒsxd Ú 0 en [a, b] Q ƒsxd dx Ú 0.
La
70. Integrales de funciones no positivas Demuestre que si f es integrable,
ƒsxd … 0 en [a, b] Q ƒsxd dx … 0.
La
71. Use la desigualdad sen que se cumple para para
encontrar una cota superior para el valor de
72. La desigualdad sec x Ú 1 + sx se cumple para s -p>2, p>2d.
1
Úsela para encontrar una cota inferior para el valor de 10 sec x dx.
2 1
>2d
1
x … x,
x Ú 0,
0 sen x dx.
1
0.5
1
dx. 2 1 + x
b
b
73. Si prom(f) realmente es un valor típico de la función integrable
f(x) en [a, b], entonces el número prom( f ) debería tener la misma
integral que f en [a, b]. ¿Es así? Esto es, ¿la expresión siguiente es
correcta?
Justifique su respuesta.
74. Sería bueno si los valores promedios de funciones integrables
obedecieran las reglas siguientes en un intervalo [a, b].
a.
b.
c.
¿Se cumplen siempre estas reglas? Justifique sus respuestas.
75. Use límites de sumas de Riemann, como en el ejemplo 4a, para
establecer la ecuación (2).
76. Use límites de sumas de Riemann, como en el ejemplo 4a, para
establecer la ecuación (3).
77. Sumas superior e inferior para funciones crecientes
a. Suponga que la gráfica de una función continua f(x) crece de
manera constante cuando x se mueve de izquierda a derecha a
lo largo de un intervalo [a, b]. Sea P una partición de [a, b] en
n subintervalos de longitud Refiérase a la
siguiente figura para demostrar que la diferencia entre las
sumas superior e inferior para f en esta partición puede representarse
gráficamente como el área de un rectángulo R cuyas
dimensiones son por (Sugerencia: La diferencia
es la suma de las áreas de los rectángulos cuyas
diagonales Q0 están a lo largo de la
curva. No hay traslape cuando estos rectángulos se desplazan
horizontalmente dentro de R).
b. Suponga que en lugar de ser iguales, las longitudes ¢xk de los
subintervalos de la partición de [a, b] varían de tamaño. Demuestre
que
Q1, Q1 Q2,
¢x = sb - ad>n.
[ƒsbd - ƒsad] ¢x.
U - L
Á , Qn - 1Qn
donde ¢xmáx es la norma de P y, por lo tanto, límƒƒPƒƒ:0 sU - Ld = 0.
y
Q2 Q1 b
promsƒd dx = ƒsxd dx?
La
La
promsƒ + gd = promsƒd + promsgd
promskƒd = k promsƒd sk es cualquier númerod
promsƒd … promsgd si ƒsxd … gsxd en [a, b].
U - L … ƒ ƒsbd - ƒsad ƒ ¢xmáx,
y f(x)
Q 3
0 x0 a x1 x2 xn b
b
∆x
f(b) f(a)
R
x