Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

EJEMPLO 5
L0
p>6
tan 2x dx =
L0
Diferenciación logarítmica
7.2 Logaritmos naturales 483
Las derivadas de funciones positivas cuyas fórmulas incluyen productos, cocientes y potencias,
suelen obtenerse más rápidamente calculando los logaritmos naturales de ambos
lados antes de hacer la diferenciación. Esto nos permite usar las leyes de los logaritmos
para simplificar las ecuaciones antes de obtener sus derivadas; a este proceso se le denomina
diferenciación logarítmica y se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 6 Aplicación de la diferenciación logarítmica
Determinar dy> dx si
Solución Aplicamos el logaritmo natural en ambos lados y simplificamos el resultado
de acuerdo con las propiedades de los logaritmos:
Regla 2
Regla 1
Regla 3
Luego derivamos ambos lados con respecto a x, utilizando la ecuación (1) en el lado izquierdo:
1 y dy
dx =
Ahora despejamos dy> dx:
L tan u du = -ln ƒ cos u ƒ + C = ln ƒ sec u ƒ + C
L cot u du = ln ƒ sen u ƒ + C = -ln ƒ csc x ƒ + C
p>3
= 1
2 ln ƒ p>3
sec u ƒ d
0
y = sx2 + 1dsx + 3d 1>2
x - 1
ln y = ln sx2 + 1dsx + 3d 1>2
x - 1
= ln ssx 2 + 1dsx + 3d 1>2 d - ln sx - 1d
= ln sx 2 + 1d + ln sx + 3d 1>2 - ln sx - 1d
= ln sx 2 + 1d + 1
ln sx + 3d - ln sx - 1d.
2
dy
dx
tan u # du
2
1
=
2L0 1
x 2 + 1 # 2x + 1
2 #
2x
= y a
x2 + 1 +
p>3
tan u du
= 1
1
sln 2 - ln 1d = ln 2
2 2
1
x + 3 -
1
2x + 6 -
, x 7 1.
1
x - 1 .
1
b .
x - 1
Sustituya u = 2x,
dx = du>2,
us0d = 0,
usp>6d = p>3