Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2r
FIGURA 4.34 Esta lata de 1 litro usa la
mínima cantidad de material cuando
h = 2r (ejemplo 2).
h
4.5 Problemas de optimización aplicados 279
¿Cómo podemos interpretar la frase “menor cantidad posible de material”? En primer lugar,
obviamos el espesor del material y el desperdicio en la fabricación, tal como se acostumbra.
Después nos preguntamos cuáles son las dimensiones r y h que hacen el área superficial
total tan pequeña como se pueda sin dejar de satisfacer la restricción
Para expresar el área superficial como una función de una variable, resolvemos para
una de las variables en pr y sustituimos esa expresión en la fórmula del área
superficial. Es más fácil resolver para h:
2 pr
h = 1000
2h = 1000.
En consecuencia,
h = 1000
. 2
pr
A = 2pr 2 + 2prh
= 2pr 2 + 2pr a 1000
b 2 pr
= 2pr 2 + 2000
r .
Nuestra meta es encontrar un valor de r 7 0 que minimice el valor de A. La figura 4.35
sugiere que tal valor existe.
Alto y delgado
Bajo y ancho
0
A
Lata alta
y delgada
mín
Lata baja
y ancha
A 2r
2000
——
r
2 , r 0
3
500
FIGURA 4.35 La gráfica de A = 2pr es cóncava
hacia arriba.
2 + 2000>r
Observe, a partir de la gráfica, que para r pequeña (un recipiente alto y delgado, como
una especie de tubo), el término domina y A es grande. Para r grande (un recipiente
bajo y ancho, como un molde para pizza), el término 2pr domina y A es grande una
vez más.
Como A es diferenciable en r 7 0, un intervalo sin extremos, sólo puede tener un valor
mínimo donde la primera derivada es cero.
2
2000>r
¿Qué pasa en r = 2 3 500>p?
dA
dr
= 4pr - 2000
r 2
4pr 3 0 = 4pr -
= 2000
2000
r 2
r = 3 500
A p L 5.42
Hacer dA>dr = 0.
Multiplicar por r 2 .
r
Resolver para r.