Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

272 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Punto de
inflexión
20
15
10
5
y
(0, 10)
–1 0 1 2 3 4
–5
Punto de (2, –6)
–10
inflexión
–15
–20
y x 4 4x 3 10
(3, –17)
Mínimo
local
FIGURA 4.30 La gráfica de
x (ejemplo 6).
4 - 4x 3 ƒsxd =
+ 10
x
(e) Dibuje (de ser posible) las intersecciones con los ejes, y los puntos donde y¿ y y– son
cero. Indique todos los valores extremos y los puntos de inflexión. Use la forma general
como guía para dibujar la curva. (Trace más puntos si es necesario). La figura 4.30
muestra la gráfica de f.
Los pasos del ejemplo 6 ayudan a delinear un procedimiento para dibujar la gráfica,
tomando en cuenta las características clave de una función y su gráfica.
Estrategia para graficar y ƒ(x)
1. Identificar el dominio de f y cualesquiera simetrías que pueda tener la curva.
2. Encontrar y¿ y y– .
3. Encontrar los puntos críticos de f, e identificar el comportamiento de la función
en cada uno.
4. Encontrar en dónde crece la curva y en dónde decrece.
5. Encontrar los puntos de inflexión, si hay alguno, y determinar la concavidad
de la curva.
6. Identificar las asíntotas.
7. Trazar los puntos clave, tales como las intersecciones con los ejes y los puntos
encontrados en los pasos 3 a 5, y dibujar la curva.
EJEMPLO 7 Uso de la estrategia de graficación
sx + 1d2
Graficar ƒsxd = . 2 1 + x
Solución
1. El dominio de f es s - q, q d,
y no hay simetrías alrededor de los ejes ni del origen
(sección 1.4).
2. Encontrar ƒ¿ y ƒ– .
ƒsxd =
sx + 1d2
1 + x2 ƒ ¿sxd = s1 + x2 d # 2sx + 1d - sx + 1d 2 # 2x
s1 + x 2 d 2
= 2s1 - x2 d
s1 + x 2 d 2
ƒ –sxd = s1 + x2 d 2 # 2s -2xd - 2s1 - x 2 d[2s1 + x 2 d # 2x]
s1 + x 2 d 4
= 4xsx2 - 3d
s1 + x 2 d 3
intercepción con el eje x x = -1,
intercepción con el eje y sy = 1d
en x = 0
Puntos críticos:
x = -1, x = 1
Después de algunas
operaciones algebraicas
3. Comportamiento en los puntos críticos. Los puntos críticos se alcanzan sólo en
x = ;1 donde ƒ¿sxd = 0 (paso 2), ya que ƒ¿ existe en todo el dominio de f. En
x = -1, ƒ–(-1) = 1 7 0, lo cual produce un mínimo relativo, de acuerdo con la
prueba de la segunda derivada. En x = 1, ƒ–s1d = -1 6 0,
lo cual produce un máximo
relativo, de acuerdo con la prueba de la segunda derivada. En el paso 6 veremos
que ambos puntos son también extremos absolutos.