Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

6.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos 413
La variable del grosor del casquillo es x, de modo que los límites de integración para
la fórmula del casquillo son a = 0 y b = 4 (figura 6.20). Por lo tanto, el volumen es
Hasta el momento hemos utilizado ejes de rotación verticales. Para ejes horizontales,
reemplazamos las x por y.
EJEMPLO 3 Casquillos cilíndricos rotando alrededor del eje x
La región acotada por la curva y = 2x, el eje x y la recta x = 4 se hace girar alrededor del
eje x para generar un sólido. Determinar el volumen del sólido.
Solución Bosqueje la región y trace un segmento de recta que la cruce en forma paralela
al eje de rotación (figura 6.22a). Etiquete la longitud del segmento (altura del casquillo)
y la distancia desde el eje de rotación (radio del casquillo). (En la figura 6.22b se dibujó el
casquillo, pero no es necesario que usted lo haga).
En este caso, la variable del grosor del casquillo es y, de modo que los límites de integración
para la fórmula del método de casquillos son a = 0 y b = 2 ( a lo largo del eje y en
la figura 6.22). El volumen del sólido es
Intervalo de
integración
2
y
0
y
V =
La
=
L0
b
4
= 2p
L0
4 – y 2
Radio del casquillo
x = y 2
y Altura del casquillo
(a)
radio del del
2p a baaltura b dx
casquillo casquillo
2psxdA 2xB dx
4
V =
La
=
L0
=
L0
x3>2 dx = 2p c 2
5 x5>2 4
d
0
b
2
2
radio del del
2p a baaltura b dy
casquillo casquillo
= 2p c2y 2 -
2
(4, 2)
2psyds4 - y 2 d dy
2ps4y - y 3 d dy
x
4 y
4 d 2
= 8p.
0
2
y
0
y
= 128p
.
5
Radio del casquillo
4 – y 2
(b)
4
(4, 2)
y
x
Altura del
casquillo
FIGURA 6.22 (a) La región, las dimensiones del casquillo y el intervalo de integración del
ejemplo 3. (b) El casquillo barrido por el segmento horizontal de la parte (a), con un ancho
de ¢y.