Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

508 Capítulo 7: Funciones trascendentes
EJERCICIOS 7.5
Las respuestas a casi todos los los ejercicios siguientes se dan en términos
de logaritmos y exponenciales. Utilizar una calculadora podría
serle útil para expresar las respuestas en forma decimal.
1. La evolución humana continúa El análisis sobre decrecimiento
de los dientes realizado por C. Loring Brace y sus colegas del
Ahora, sabemos que y = y0 es la solución de dy>dt = -ky es donde y(0) = y0. La sustitución
de (H – HMA) por y, nos indica que
e-kt
H - HMA = sH0 - HMAde -kt ,
donde H 0 es la temperatura en t = 0. Ésta es la ecuación de la ley de enfriamiento de
Newton.
EJEMPLO 6 Tiempo para enfriar un huevo cocido
Un huevo cocido a 98°C se sumerge en agua cuya temperatura es de 18°C. Después de 5
minutos, la temperatura del huevo es de 38°C. Suponiendo que el agua no se calienta de
forma apreciable, ¿cuánto tardará la temperatura del huevo en llegar a 20°C?
Solución Determinamos cuánto tarda el huevo en enfriarse de 98°C a 20°C, y sustituimos
los 5 minutos que ya han transcurrido. Por medio de la ecuación (9) con H MA = 18 y
H 0 = 98, la temperatura del huevo al cabo de t min después de sumergirlo en el agua es
H = 18 + s98 - 18de -kt = 18 + 80e -kt .
Para hallar k, utilizamos la información de que H = 38 cuando t = 5:
38 = 18 + 80e -5k
e -5k = 1
4
-5k = ln 1
4
k = 1
ln 4 = 0.2 ln 4 saproximadamente 0.28d.
5
La temperatura del huevo en el instante t es H = 18 + 80e –(0.2 ln 4)t . Ahora determinamos el
instante t en el que H = 20:
e -s0.2 ln 4dt = 1
80e
40
-s0.2 ln 4dt = 2
-s0.2 ln 4dt
20 = 18 + 80e
-s0.2 ln 4dt = ln 1
40
t =
ln 40
0.2 ln 4
= -ln 4
= -ln 40
L 13 min.
La temperatura del huevo será de 20°C, 13 minutos después de sumergirlo en el agua para
enfriarlo. Puesto que requirió 5 minutos para llegar a 38°C, tardará casi 8 minutos más para
alcanzar los 20°C.
Museo de Antropología de la Universidad de Michigan, indica
que el tamaño de los dientes humanos decrece de manera continua
y que el proceso de evolución no se detuvo hace aproximadamente
30,000 años como muchos científicos aseguran. Por
ejemplo, el tamaño de los dientes de los europeos septentrionales
hoy en día disminuye a razón de 1% por cada 1000 años.
(9)