Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Razones de cambio: derivada en un punto
La expresión
se llama cociente de diferencias de f en x 0 con incremento h. Si el cociente de diferencias
tiene un límite cuando h se aproxima a cero, a dicho límite se le llama la derivada
de f en x 0. Si interpretamos el cociente de diferencias como la pendiente de la secante,
la derivada da la pendiente de la curva y de la tangente en el punto donde x = x 0. Si interpretamos
el cociente de diferencias como una razón de cambio promedio, como hicimos
en la sección 2.1, la derivada da la razón de cambio de la función respecto de x en el punto
x = x 0. Desde el punto de vista del cálculo, la derivada es uno de los dos objetos matemáticos
más importantes. En el capítulo 3 empezaremos un análisis completo de ella. El otro
objeto importante es la integral, e iniciaremos su estudio en el capítulo 5.
EJEMPLO 4 Velocidad instantánea (continuación de la sección 2.1,
ejemplos 1 y 2)
En los ejemplos 1 y 2 de la sección 2.1, estudiamos la velocidad de una piedra que cae libremente
desde el reposo cerca de la superficie de la Tierra. Sabíamos que la piedra caía
y = 16t 2 pies durante los primeros t segundos, y usamos una secuencia de razones de cambio
sobre intervalos pequeños para estimar la velocidad de la piedra en el instante t = 1.
¿Cuál era exactamente la velocidad de la piedra en ese tiempo?
Solución Hacemos ƒstd = 16t La velocidad promedio de la piedra a lo largo del intervalo
entre t = 1 y t = 1 + h segundos era
2 .
La velocidad de la piedra en el instante t = 1 era
lím 16sh + 2d = 16s0 + 2d = 32 pies>seg.
h:0
Nuestra estimación original de 32 pies> seg era correcta.
Resumen
ƒs1 + hd - ƒs1d
h
ƒsx0 + hd - ƒsx0d
h
= 16s1 + hd2 - 16s1d 2
h
2.7 Tangentes y derivadas 139
= 16sh2 + 2hd
h
= 16sh + 2d.
En esta sección hemos analizado las pendientes de las curvas, la recta tangente a una curva,
la razón de cambio de una función, el límite del cociente de diferencias, y la derivada
de una función en un punto. Todos estos conceptos se refieren a un mismo tema, tal como
se resume a continuación.
1. La pendiente de en
2. La pendiente de la tangente a la curva en
3. La razón de cambio de f(x) respecto de x en
4. La derivada de f en x = x0 5. El límite del cociente de diferencias, lím
h:0 ƒsx0
y = ƒsxd
x = x0
y = ƒsxd x = x0
x = x0
+ hd - ƒsx0d
h