Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Richard Dedekind
(1831–1916)
0
A
y 0
(x, g(x))
4
y
Área (x x 2) dx
L2
2
y x
2
1
Área x dx
L0
(x, f(x))
(x, f(x))
B
(4, 2)
y x 2
2
(x, g(x))
FIGURA 5.31 Cuando la fórmula para
una curva frontera cambia, el área total
cambia para convertirse en la suma de
integrales y coincidir con aquella, una
integral para cada una de las regiones
sombreadas que se muestran aquí para el
ejemplo 5.
4
x
Si la fórmula para una curva frontera cambia en uno o más puntos, subdividimos la región
en subregiones que correspondan a los cambios de la fórmula y aplicamos la fórmula para
el área entre las curvas en cada subregión.
EJEMPLO 5 Cambio de la integral para ajustarla a un cambio en la frontera
Encontrar el área de la región en el primer cuadrante, que está acotada por arriba por
y = 1x y por abajo por el eje x y la recta y = x - 2.
Solución El dibujo (figura 5.31) muestra que la cota superior de la región es la gráfica
de ƒsxd = 1x. La cota inferior cambia de gsxd = 0 para 0 … x … 2 a gsxd = x - 2
para 2 … x … 4 (coinciden en x = 2).
Subdividimos la región en x = 2 en dos subregiones
A y B, que se muestran en la figura 5.31.
Los límites de integración para la región A son a = 0 y b = 2. El limite izquierdo para
la región B es a = 2. Para encontrar el límite derecho, resolvemos simultáneamente las
ecuaciones y = 1x y y = x - 2 para x:
x 2 - 5x + 4 = 0
sx - 1dsx - 4d = 0
Igualar ƒ(x) y g(x).
Elevar al cuadrado ambos lados.
Reescribir.
Factorizar.
Resolver.
Solamente el valor x = 4 satisface la ecuación 1x = x - 2. El valor x = 1 es una raíz
ajena, que surge al elevar al cuadrado. El límite derecho es b = 4.
Para 0 … x … 2: ƒsxd - gsxd = 1x - 0 = 1x
Para 2 … x … 4: ƒsxd - gsxd = 1x - sx - 2d = 1x - x + 2
Sumamos las áreas de las subregiones A y B para encontrar el área total:
Área total =
1x = x - 2
= 2
10
s8d - 2 =
3 3 .
Integración con respecto a y
x = sx - 2d 2 = x 2 - 4x + 4
x = 1, x = 4.
2
1x dx +
L0
(')'*
área en A
= c 2
3 x3>2 2
d + c
0
2
3 x3>2 - x2
2 + 2x d 4
2
5.6 Sustitución y área entre curvas 381
L
s 1x - x + 2d dx
2
= 2
3 s2d3>2 - 0 + a 2
3 s4d3>2 - 8 + 8b - a 2
3 s2d3>2 - 2 + 4b
Si las curvas que acotan una región están descritas como funciones de y, los rectángulos de
aproximación son horizontales en lugar de verticales, y la fórmula básica tiene y en lugar
de x.
4
('''')''''*
área en B