Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Regla de Leibniz
En las aplicaciones, algunas veces encontramos funciones como
ƒsxd = L
x 2
sen x
s1 + td dt y gsxd = L
definidas por integrales que tienen al mismo tiempo una variable en
los límites superiores de integración y una variable en los límites inferiores
de integración. La primera integral puede evaluarse directamente,
pero la segunda no. Sin embargo, podemos encontrar la derivada de
cualquier integral usando la fórmula llamada regla de Leibniz.
Regla de Leibniz
1x
21x
sen t 2 dt,
Si f es continua en [a, b], y si u(x) y y(x) son funciones diferenciables
de x cuyos valores están en [a, b], entonces
0
d
dx
L
ysxd
usxd
u(x)
ƒstd dt = ƒsysxdd dy
dx
y
y(x)
A(x) f(t) dt
Lu(x)
Descubriendo
f(u(x))
y f(t)
y(x)
Cubriendo
t
f(y(x))
FIGURA 5.35 Enrollando y desenrollando una alfombra: una
interpretación geométrica de la regla de Leibniz:
dA
dx
= ƒsysxdd dy
dx
du
- ƒsusxdd .
dx
La figura 5.35 da una interpretación geométrica de la regla de
Leibniz. En ella se muestra una alfombra de ancho variable f (t), que
se enrolla a la izquierda al mismo tiempo x que se desenrolla a la derecha.
(En la interpretación, el tiempo es x, no t.) En el tiempo x, el piso
está cubierto de u(x) a y(x). La razón du>dx en la que la alfombra está
siendo enrollada no tiene que ser la misma que la razón dy>dx en la
que está siendo desenrrollada. En cualquier tiempo dado x, el área cubierta
por la alfombra es
Asxd = L
ysxd
usxd
ƒstd dt.
- ƒsusxdd du
dx .
¿A qué razón está cambiando el área cubierta? En el instante x, A(x)
está creciendo por el ancho f(y(x)) de la alfombra que se desenrolla,
multiplicado por la razón dy>dx en la que se desenrolla. Esto es, A(x)
está creciendo a la razón
Al mismo tiempo, A está decreciendo a la razón
el ancho del extremo en que está siendo enrollada, multiplicado por la
razón du>dx.
La razón de cambio neta en A es
que es, precisamente, la regla de Leibniz.
Para probar la regla, sea F una antiderivada de f en [a, b]. Entonces,
Derivando ambos lados de esta ecuación respecto de x, se obtiene la
ecuación que buscamos:
d
dxL ysxd
usxd
Capítulo 5 Ejercicios adicionales y avanzados 393
L
ƒstd dt = d
dx
Regla de la cadena
Use la regla de Leibniz para encontrar las derivadas de las funciones
de los ejercicios 19 a 21.
sen x
1
19. 20. ƒsxd = dt 2
Lcos
x 1 - t ƒsxd = x
L1/x
1
t dt
21y
dA
dx
ysxd
usxd
= ƒsysxdd dy
dx
ƒstd dt = Fsysxdd - Fsusxdd.
cFsysxdd - Fsusxddd
= F¿sysxdd dy
dx
= ƒsysxdd dy
dx
21. gs yd = sen t
L1y
22. Use la regla de Leibniz para encontrar el valor de x que maximiza
el valor de la integral
2 dt
Lx
ƒsysxdd dy
dx .
ƒsusxdd du
dx ,
x + 3
- ƒsusxdd du
dx ,
- F¿susxdd du
dx
- ƒsusxdd du
dx .
ts5 - td dt.
Problemas como éstos surgen en la teoría matemática de las elecciones
políticas. Vea “The Entry Problem in a Political Race”, de
Steven J. Brams y Philip D. Straffin, Jr., en Political Equilibrium,
Peter Ordeshook y Kenneth Shepfle, editores, Kluwer-Nijhoff,
Boston, 1982, pp 181-195.
Aproximación de sumas finitas con integrales
En muchas aplicaciones de cálculo se usan las integrales para aproximar
sumas finitas, es decir, el procedimiento inverso del usual, que
consiste en usar sumas finitas para aproximar integrales.