Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

c. Grafique la función y = para 0 … x … 1. Experimente
con el rango en el eje y entre 0 y 1, luego entre 0 y
0.5, y después disminuya el rango hasta que la gráfica pueda
verse. ¿Qué concluye acerca del área que está debajo de la
curva?
x4sx - 1d 4
x 2 + 1
8.4
Integrales trigonométricas
52. Determine el polinomio de segundo grado P(x) tal que Ps0d = 1,
P¿s0d = 0 y
es una función racional.
8.4 Integrales trigonométricas 581
Psxd
L x3 dx 2 sx - 1d
Las integrales trigonométricas incluyen combinaciones algebraicas de las seis funciones
trigonométricas básicas. En principio, siempre podemos expresar tales integrales en términos
de senos y cosenos, pero con frecuencia es más sencillo hacerlo con otras funciones,
como en la integral
L
La idea general es utilizar identidades para transformar las integrales en integrales con las
que sea más fácil trabajar.
sec2 x dx = tan x + C.
Productos de potencias de senos y cosenos
Iniciamos con integrales de la forma:
donde m y n son enteros no negativos (positivo o cero). Podemos separar el trabajo en tres
casos.
Caso 1 Si m es impar, escribimos m como y utilizamos la identidad sen 2 x = 1
– cos 2 L
2k + 1
x para obtener
senm x cosn x dx,
Después combinamos en la integral el sen x, que está solo, con dx, y hacemos sen x dx
igual a
Caso 2 Si m es par y n es impar en escribimos n como 2k + 1 y utilizamos
la identidad cos 2 x = 1 – sen 2 1
x para obtener
senm x cosn -d scos xd.
x dx,
Luego combinamos el cos x, que está solo, con dx, y hacemos cos x dx igual a d(sen x).
Caso 3 Si m y n son pares en 1 sustituimos
senm x cosn x dx,
sen 2 x =
para reducir el integrando a uno con potencias menores de cos 2x.
A continuación presentamos algunos ejemplos que ilustran cada caso.
EJEMPLO 1 m es impar
Evaluar
sen m x = sen 2k + 1 x = ssen 2 xd k sen x = s1 - cos 2 xd k sen x.
cos n x = cos 2k + 1 x = scos 2 xd k cos x = s1 - sen 2 xd k cos x.
1 - cos 2x
, cos
2
2 x =
L sen3 x cos 2 x dx.
1 + cos 2x
2
(1)
(2)