Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

La única falla en este razonamiento radica en que, en la ecuación (1), podría ocurrir que
¢u = 0 (aun cuando ¢x Z 0)
y, por supuesto, no podemos dividir entre 0. La prueba necesita
un enfoque distinto para evitar esta falla; en la sección 3.8 haremos una demostración
más precisa.
EJEMPLO 3 Aplicación de la regla de la cadena
Un objeto se mueve a lo largo del eje x, de manera que su posición en cualquier tiempo
está dada por xstd = cosst Determinar la velocidad del objeto como una
función de t.
2 t Ú 0
+ 1d.
Solución Sabemos que la velocidad es dxNdt. En este caso, x es una función compuesta:
x = cos(u) y u = t 2 + 1. Tenemos
u = t
De acuerdo con la regla de la cadena,
2 + 1
du
x = cossud
= 2t.
dt dx
= -sensud
du
Como vimos en el ejemplo 3, una dificultad al utilizar la notación de Leibniz, es que no
dice específicamente en dónde deben evaluarse las derivadas.
Regla “de afuera hacia adentro”
Algunas veces ayuda pensar en la regla de la cadena de esta manera: si y = ƒsgsxdd, entonces
En palabras, derivar la función de “afuera” (externa), f, y evaluarla en la función de “adentro”
(interna), g(x); después multiplicar por la derivada de la “función de adentro” (interna).
EJEMPLO 4 Diferenciación de afuera hacia adentro
Derivar sen (x 2 + x) con respecto a x.
Solución
dx
dt
dx
= # du
du dt
Uso repetido de la regla de la cadena
3.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 193
= -sensud # 2t
= -senst 2 + 1d # 2t
= -2t senst 2 + 1d.
dy
dx = ƒ¿sgsxdd # g¿sxd.
evaluado en u
Algunas veces tenemos que usar la regla de la cadena dos o más veces para encontrar una
derivada. Veamos un ejemplo de tal situación.
dx
du
d
dx sen (x2 + x) = cos (x2 + x) # (2x + 1)
(+)+* (+)+* (+)+*
lo de adentro lo de aden- derivada de
tro dejarlo
igual
lo de adentro