Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

588 Capítulo 8: Técnicas de integración
4 x 2
2
x
FIGURA 8.4 Triángulo de referencia para
(ejemplo 1):
tan u =
y
x
x = 2 tan u
2
3
9 x 2
sec u =
24 + x2
.
2
x
FIGURA 8.5 Triángulo de referencia para
x = 3 sen u
(ejemplo 2):
y
cos u =
sen u = x
3
29 - x2
.
3
Solución Hacemos
Entonces
2sec 2 u = ƒ sec u ƒ
Observe cómo expresamos ln ƒ sec u + tan u ƒ en términos de x: dibujamos un triángulo de
referencia para la sustitución original x = 2 tan u (figura 8.4) y obtenemos las razones del
triángulo.
EJEMPLO 2 Uso de la sustitución x = a sen u
Evaluar
Solución Hacemos
Entonces
L
L
x = 2 tan u, dx = 2 sec 2 u du, - p
2
4 + x 2 = 4 + 4 tan 2 u = 4s1 + tan 2 ud = 4 sec 2 u.
dx
24 + x2 = L 2 sec2 u du
24 sec2 u = L sec2 u du
ƒ sec u ƒ
x = 3 sen u, dx = 3 cos u du, - p
2
9 - x 2 = 9 - 9 sen 2 u = 9s1 - sen 2 ud = 9 cos 2 u.
x 2 dx
29 - x2 = L 9 sen2 u # 3 cos u du
ƒ 3 cos u ƒ
= 9 L sen 2 u du
= 9 L
= 9
2
= 9
su - sen u cos ud + C
2
= 9
2
= L sec u du
= ln ƒ sec u + tan u ƒ + C
= ln `
= ln ƒ 24 + x 2 + x ƒ + C¿ .
sen 2u
au - b + C
2
asen-1 x
3
= 9 x
sen-1
2 3
24 + x2
2
L
1 - cos 2u
2
- x
3
x2 dx
.
2 29 - x
du
+ x
` + C
2
# 29 - x2
b + C
3
- x
2 29 - x2 + C.
6 u 6 p
2 ,
sec u 7 0 para - p
2
De la figura 8.4
Tomando C¿ =C - ln 2
6 u 6 p
2
cos u 7 0 para - p
2
sen 2u = 2 sen u cos u
Figura 8.5
6 u 6 p
2
6 u 6 p
2