Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

376 Capítulo 5: Integración
57.
58.
59. La velocidad de una partícula que se mueve hacia atrás y hacia
delante a lo largo de una recta es
para toda t. Si cuando encuentre el valor de s cuando
60. La aceleración de una partícula que se mueve hacia atrás y hacia
delante a lo largo de una recta es
m>seg para toda t. Si s = 0 y y = 8 m/seg cuando t = 0, encuentre
s cuando t = 1 sec.
2
a = d 2 s>dt 2 = p 2 d
y = ds>dt = 6 sen 2t m>seg
s = 0 t = 0,
t = p>2 sec.
cos pt
2 y
dx 2 = 4 sec2 d
2x tan 2x, y¿s0d = 4, ys0d = -1
2 s
p
= -4 sen a2t - b, s¿s0d = 100, ss0d = 0
2
dt 2
Teoría y ejemplos
61. Aparentemente es posible integrar 2 sen x cos x respecto de x de
tres maneras distintas:
a.
b.
c.
= u2 + C1 = sen 2 u = sen x ,
L
x + C1
2 sen x cos x dx = 2u du
L
= -u2 + C2 = -cos 2 u = cos x ,
L
x + C2
2 sen x cos x dx = -2u du
L
L
2 sen x cos x = sen 2x
cos 2x
=-
2
+ C3.
2 sen x cos x dx = sen 2x dx
L
5.6
Sustitución y área entre curvas
¿Pueden ser correctas las tres integraciones? Justifique su respuesta.
62. La sustitución u = tan x da
L sec2 x tan x dx = u du =
L u2
2 + C = tan2 x
+ C.
2
La sustitución u = sec x da
L sec2 x tan x dx = u du =
L u2
2 + C = sec2 x
2
¿Pueden ser correctas las dos integraciones? Justifique su respuesta.
63. (Continuación del ejemplo 9).
a. Demuestre, evaluando la integral en la expresión
1
s1>60d - 0
que el valor promedio de V = Vmáx sen 120 pt en un ciclo
completo es cero.
b. El circuito que hace funcionar las estufas eléctricas tiene una
velocidad de 240 voltios rpc. ¿Cuál es el valor pico del voltaje
permisible?
c. Demuestre que
L0
L0
1>60
Vmáx sen 120 pt dt
1>60
sVmáxd2 sen2 120 pt dt =
sVmáxd 2
120 .
+ C.
Hay dos métodos para evaluar, por sustitución, una integral definida. El primero consiste
en encontrar una antiderivada mediante sustitución, y después evaluar la integral definida
usando el teorema fundamental. Usamos este método en los ejemplos 8 y 9 de la sección
anterior. El segundo método extiende directamente el proceso de sustitución para integrales
definidas. Aplicaremos la fórmula nueva, que se presenta a continuación, para calcular
el área entre dos curvas.
Fórmula de sustitución
En la fórmula siguiente, los límites de integración se modifican cuando se cambia la variable
de integración mediante sustitución.
TEOREMA 6 Sustitución en integrales definidas
Si g¿
es continua en el intervalo [a, b] y si f es continua en el rango de g, entonces
b
ƒsgsxdd # g¿sxd dx =
La
L
gsbd
gsad
ƒsud du