Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

610 Capítulo 8: Técnicas de integración
TABLA 8.4
x
0 0
1
2
1 5
3
2
2 80
y = 5x 4
5
16
405
16
Regla de Simpson
Para aproximar 1 utilice
b
ƒsxd dx,
a
S = ¢x
3 s y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + Á + 2yn - 2 + 4yn - 1 + ynd.
Las y son los valores de f en los puntos de la partición
x0 = a, x1 = a +¢x, x2 = a + 2¢x, Á , xn - 1 = a + sn - 1d¢x, xn = b.
El número n es par y ¢x = sb - ad>n.
Observe el patrón de coeficientes en la regla anterior: 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, Á , 4, 2, 1.
EJEMPLO 5 Aplicación de la regla de Simpson
Utilice la regla de Simpson con n = 4 para aproximar
Solución Dividimos [0, 2] en cuatro subintervalos y evaluamos y = 5x 4 en los puntos de
la partición (tabla 8.4). Después aplicamos la regla de Simpson con n = 4 y ¢x = 1>2:
S = ¢x
3 ay0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + y4b
= 1
6
= 32 1
12 .
Esta estimación difiere del valor exacto (32) en sólo 1> 12, un error porcentual de menos
de tres décimos de uno por ciento, y esto fue con sólo cuatro subintervalos.
Estimación del error en la regla de Simpson
Para estimar el error en la regla de Simpson, iniciamos con un resultado de cálculo avanzado
que dice que si la cuarta derivada, ƒ es continua entonces
s4d
La
5
a0 + 4 a b + 2s5d + 4 a405 b + 80b
16 16
b
ƒsxd dx = S -
para algún punto c entre a y b. Así, cuando ¢x tiende a cero, el error,
ES =-
tiende a cero como la cuarta potencia de ¢x.
(Esto ayuda a explicar por qué es muy probable
que la regla de Simpson dé mejores resultados que la regla del trapecio).
La desigualdad
ƒ ES ƒ …
1 2
0 5x4 dx.
b - a
180 # ƒ s4d scds¢xd 4
b - a
180 # ƒ s4d scds¢xd 4 ,
b - a
180 máx ƒ ƒ s4d sxd ƒ s¢xd 4
en donde máx se refiere al intervalo [a, b], proporciona una cota superior para la magnitud
del error. Como con en la fórmula del error para la regla del trapecio, por lo remáx
ƒ ƒ– ƒ