Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

104 Capítulo 2: Límites y continuidad
L e
L
L e
0
y
f(x)
f(x) está
aquí
x 0
para toda x x 0
aquí
x
d
x 0 d
FIGURA 2.25 Intervalos asociados con la
definición de límite lateral derecho.
L e
L
L e
0
y
f(x)
f(x) está
aquí
para toda x x 0
aquí
x 0 d
FIGURA 2.26 Intervalos asociados con la
definición de límite lateral izquierdo.
e
f(x)
y
x
f(x) x
L 0 d x
e 2
FIGURA 2.27 lím 1x = 0
del ejemplo 3.
+
x:0
d
x 0
x
x
x
EJEMPLO 3 Aplicación de la definición para encontrar un delta
Probar que
Solución Sea P 70 dada. Aquí x 0 = 0 y L = 0, de manera que queremos encontrar una
d 7 0 tal que para toda x
o
Elevando al cuadrado ambos lados de la última desigualdad, tenemos
Si elegimos tenemos
0 6 x 6 d =P 2 d =P
Q 2x 6P,
2
o
DEFINICIONES Límites laterales derecho e izquierdo
Decimos que f(x) tiene límite lateral derecho L en x 0, y escribimos
lím ƒsxd = L (vea la figura 2.25)
+
x:x0
si para todo número P70 existe un número d 7 0 correspondiente, tal que para
toda x
x0 6 x 6 x0 + d Q ƒƒsxd - L ƒ 6P.
Decimos que f tiene límite L lateral izquierdo en x 0, y escribimos
lím ƒsxd = L (vea la figura 2.26)
-
x:x0
si para todo número P70 existe un número d 7 0 correspondiente, tal que para
toda x
x0 - d 6 x 6 x0 Q ƒƒsxd - L ƒ 6P.
lím 2x = 0.
+ x:0
0 6 x 6 d Q ƒ 2x - 0 ƒ 6P,
0 6 x 6 d Q 2x 6P.
x 6P 2 si 0 6 x 6 d.
0 6 x 6P 2 Q ƒ 2x - 0 ƒ 6P.
De acuerdo con la definición, esto prueba que límx:0 (figura 2.27).
+2x = 0
Las funciones que hemos examinado hasta aquí han tenido algún tipo de límite en cada
punto de interés. Sin embargo, en general esto no ocurre así.
EJEMPLO 4 Una función que oscila demasiado
Probar que y = sen s1>xd no tiene límite cuando x se aproxima a cero por cualquier lado
(figura 2.28).
Solución Cuando x se aproxima a cero, su recíproco, 1>x,
aumenta sin cota y los valores
de sen ( 1>x)
se repiten periódicamente entre –1 y 1. No hay un solo número L al que los