Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

570 Capítulo 8: Técnicas de integración
Fórmulas de reducción
En los ejercicios 39 a 42, utilice integración por partes para establecer
la fórmula de reducción.
39.
40.
41.
42.
L xn cos x dx = x n sen x - n L x n - 1 sen x dx
L xn sen x dx = -x n cos x + n L x n - 1 cos x dx
L xn e ax dx = xn e ax
a - n a L x n - 1 e ax dx, a Z 0
L sln xdn dx = xsln xd n - n L sln xd n - 1 dx
Integración de funciones inversas
La integración por partes conduce a una regla para la integración de
inversas que, por lo regular, proporciona buenos resultados:
L ƒ-1 sxd dx = L yƒ¿syd dy
= yƒsyd - L ƒsyd dy
= xƒ -1 sxd - L ƒsyd dy
La idea es tomar la parte más complicada de la integral, en este caso
ƒ y simplificarla en primer lugar. Para la integral de ln x, tenemos
-1sxd, L ln x dx = L ye y dy
Para la integral de cos –1 x, tenemos
= ye y - e y + C
= x ln x - x + C.
L cos-1 x dx = x cos -1 x - L cos y dy
8.3
= x cos -1 x - sen y + C
= x cos -1 x - sen scos -1 xd + C.
y = ƒ
dx = ƒ¿s yd dy
-1sxd, x = ƒs yd
Integración por partes con
u = y, dy = ƒ¿s yd dy
dx = e y y = ln x, x = e
dy
y
y = cos -1 x
Utilice la fórmula
L ƒ-1 sxd dx = xƒ -1 sxd - L ƒs yd dy
para evaluar las integrales en los ejercicios 43 a 46. Exprese su respuesta
en términos de x.
43. 44.
L tan-1 x dx
L sen-1 x dx
45. 46.
Otra forma de integrar (por supuesto, cuando es integrable)
consiste en utilizar integración por partes con y
para reescribir la integral de ƒ como
-1
u = ƒ
dy = dx
-1 ƒ
sxd
-1
ƒ -1 L
sxd
log2 x dx
L sec-1 x dx
(5)
L
Los ejercicios 47 y 48 comparan los resultados de utilizar las ecuaciones
(4) y (5).
ƒ-1sxd dx = xƒ-1sxd - x a
L d
dx ƒ-1sxdb dx.
47. Las ecuaciones (4) y (5) dan fórmulas diferentes para la integral
de cos-1 x:
a. Ecuación (4)
L cos-1 x dx = x cos -1 x - sen scos -1 xd + C
b. Ecuación (5)
¿Pueden ser correctas ambas integraciones? Explique.
48. Las ecuaciones (4) y (5) dan fórmulas diferentes para la integral
de tan-1 L
x:
cos-1 x dx = x cos -1 x - 21 - x 2 + C
a. Ecuación (4)
L tan-1 x dx = x tan-1 x - ln sec stan-1 xd + C
b. Ecuación (5)
L
¿Pueden ser correctas ambas integraciones? Explique.
Evalúe las integrales en los ejercicios 49 y 50 con (a) la ecuación (4),
y (b) con la ecuación (5). En cada caso, verifique su respuesta diferenciándola
respecto de x.
tan-1 x dx = x tan -1 x - ln 21 + x 2 + C
49. 50. tanh
L -1 x dx
L senh-1 x dx
Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales
y = ƒ -1 sxd
En esta sección mostraremos cómo expresar una función racional (un cociente de polinomios)
como una suma de fracciones más sencillas, denominadas fracciones parciales, que
son fáciles de integrar. Por ejemplo, la función racional (5x - 3)>(x puede
reescribirse como
2 - 2x - 3)
5x - 3
x 2 - 2x - 3 =
2
x + 1 +
3
x - 3 ,
(4)