Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Teoría y ejemplos
53. Si para x en y para
y ¿en qué puntos c sabemos automáticamente
que ¿Qué se puede decir respecto al valor del límite
en esos puntos?
54. Suponga que para toda x Z 2, y que
¿Puede concluirse algo acerca de los valores de f, g y h en x = 2?
¿Es posible que f(2) = 0? ¿Es posible que Justifique
sus respuestas
55. Si encuentre lím
x:4 ƒsxd.
lím
x
x 6 -1 x 7 1,
límx:c ƒsxd?
gsxd … ƒsxd … hsxd
lím gsxd = lím hsxd = -5.
x:2 x:2
límx:2 ƒsxd = 0?
ƒsxd - 5
= 1,
x:4 x - 2 2 … ƒsxd … x 4
x [-1, 1]
4 … ƒsxd … x 2
56. Si lím 2
x
= 1, encuentre
a. lím
b. lím
x: -2 ƒsxd
x: -2 ƒsxd
2.3
⎧
9
Para ⎪
satisfacer ⎨ 7
⎪
esto ⎩ 5
0
y
y 2x 1
3 4 5
⎧
⎨
⎩
Restringir
a esto
x: -2 ƒsxd
x
La definición formal de límite
Cota superior
y 9
Cota inferior
y 5
FIGURA 2.12 Al mantener x a 1 unidad
de x 0 = 4 mantendremos y a 2 unidades de
y 0 = 7.
x
2.3 La definición formal de límite 91
Ahora que entendemos un poco mejor el concepto de límite habiendo trabajado intuitivamente
a partir de su definición informal, concentraremos nuestra atención en su definición
precisa. Para ello, reemplazaremos las frases vagas como “se acerca arbitrariamente a”
que utilizamos en la definición informal, con condiciones específicas que pueden aplicarse
a cualquier ejemplo particular. Gracias a la definición formal seremos capaces de realizar
pruebas rigurosas sobre las propiedades de los límites que se analizaron en la sección anterior,
y podremos establecer otros límites específicos importantes para el estudio del cálculo.
Para comprobar que el límite de f(x) cuando x : x0 es igual al número L, necesitamos
probar primero que la brecha entre f(x) y L puede hacerse “tan pequeña como queramos”
si x se mantiene lo “suficientemente cerca” de x 0. Veamos cómo podemos conseguir
esto si especificamos el tamaño de la diferencia entre f(x) y L.
EJEMPLO 1 Una función lineal
57. a. Si encuentre
b. Si encuentre
58. Si encuentre
a. b. lím
x:0 ƒsxd
lím
x:0 x
ƒsxd
lím
x:0 ƒsxd
lím
x:2
= 1, 2
x ƒsxd.
lím
lím
x:2
ƒsxd - 5
= 4,
x:2 x - 2 ƒsxd.
lím
ƒsxd - 5
= 3,
x:2 x - 2
T 59. a. Grafique g(x) = x sen(1/x) para estimar límx:0 gsxd, acercándose
al origen tanto como sea necesario.
b. Confirme con una prueba el resultado que obtuvo en el inciso (a).
60. a. Grafique h(x) = x 2 cos(1/x 3 T
) para estimar
cándose al origen tanto como sea necesario.
acer-
b. Confirme mediante una prueba el resultado que obtuvo en el
inciso (a).
Considerar la función y = 2x – 1 cerca de x0 = 4. Desde el punto de vista intuitivo, resulta
evidente que y está cerca de 7 cuando x está cerca de 4, así que límx:4 s2x - 1d = 7. Sin
embargo, ¿qué tan cerca debe estar x de x0 = 4 para que y = 2x — 1 difiera de 7, digamos
por menos de 2 unidades?
Solución Podemos preguntarnos: ¿para qué valores de x, es |y – 7| < 2? Para encontrar la
respuesta, primero expresamos |y – 7| en términos de x:
ƒ y - 7 ƒ = ƒ s2x - 1d - 7 ƒ = ƒ 2x - 8 ƒ.
Entonces, la pregunta se convierte en: ¿qué valores de x, cercanos a 4, satisfacen la desigualdad
|2x – 8| < 2? Para encontrarlos resolvemos la desigualdad:
ƒ 2x - 8 ƒ 6 2
-2 6 2x - 8 6 2
6 6 2x 6 10
3 6 x 6 5
-1 6 x - 4 6 1.
límx:0 hsxd,
Al mantener x a una unidad o menos de x 0 = 4, mantendremos y a 2 unidades o menos de
y 0 = 7 (figura 2.12).